Здравствуйте.
Возникло затруднение при решении задачи 2.1.3 из учебника "Теория вероятностей и математическая статистика" Семенов В.А., 2013.
Условие задачи:
Цитата:
Готовясь к юбилею института, каждый из 7 членов кафедры принёс подарок. Эти подарки смешали и случайным образом распределили между собой. Какова вероятность, что: а) каждый получит свой подарок; б) ни один не получит свой подарок; в) хотя бы один сотрудник получит свой подарок?
Затруднение, конечно, с пунктами б и в.
Моё решение: присвоим каждому подарку код: число от 1 до 7, а также каждому сотруднику. Составим все возможные размещения подарков, их число = 7! = 5040. Если в размещении существует подарок, код которого совпадает с его порядковым номером, то считаем, что сотрудник получил свой подарок.
Теперь найдём, сколько среди всех возможных размещений таких, где ни один сотрудник не получил свой подарок. Для этого используем формулу включений и исключений:
где
- общее число размещений (5040),
- число всех размещений, в которых первый подарок находится на первом месте,
- число всех размещений, в которых первый подарок находится на первом месте, а второй находится на втором месте, и т.д.
Приведём формулу к следующему виду:
где
- число всех размещений, в которых хотя бы один подарок находится на месте, номер которого равен коду подарка,
- число всех размещений, в которых хотя бы 2 подарка находятся на соотв. местах и т.д.
Найдём числа
, ...,
.
Для
общее число слагаемых очевидно = 7, а количество размещений для каждого из них = 6!, отсюда
.
Для
общее число слагаемых найдём по формуле числа сочетаний без повторений из 7 элементов по 2, и, с учётом того, что для каждого из них число размещений 5!, получим:
.
Аналогичным образом получим оставшиеся числа:
,
,
,
,
.
Суммируя, находим число размещений, при которых ни один не получит свой подарок:
, и искомую вероятность:
.
Но это не согласуется с правильным ответом. Правильный ответ:
Цитата:
б)
в)
Судя по контексту, правильный ответ - это именно
, а не
, но, в любом случае, мой результат не совпадает ни с тем, ни с другим. Помогите, пожалуйста, разобраться, как найти правильный ответ.