2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сумма ряда
Сообщение31.10.2008, 14:10 
Как оценить сверху сумму ряда
$$\sum_{n=1}^\infty\frac 1{2^{\sqrt{n}}}$$
?

Добавлено спустя 14 минут 36 секунд:

Самое простое наверное так:
$$\sum_{n=1}^\infty\frac 1{2^{\sqrt{n}}}\le\int_1^\infty\frac 1{2^{\sqrt{x-1}}}dx=\frac 2{\ln^2 2}$$
да?

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 14:11 
Аватара пользователя
Нужно заметить, что если есть ряд $\sum_k f(k)$, $f(x)$ не возрастает, то
$$f(k) \leqslant \int_{k-1}^k f(x) \mathrm{d}x$$, следовательно
$$
\sum_{k=1}^n f(k)\leqslant  \int_0^n f(x) \mathrm{d} x
$$
Переходя к пределу, получим требуемую оценку.

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 14:16 
Аватара пользователя
Оценим корень целой частью корня. (Это - снизу; значит, член ряда будет оценён сверху.) Тогда что получится:
три раза 1
пять раз 1/2
семь раз 1/4
...
а эту сумму легко посчитать в точности.

Добавлено спустя 4 минуты 49 секунд:

Женисбек, Вы, вероятно, хотели сказать что-то другое.
mkot, Вы предлагаете оценить сумму интегралом, который сам непонятно как оценивать.

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 14:19 
ИСН писал(а):
Женисбек, Вы, вероятно, хотели сказать что-то другое.


Да, извините, забыл корень поставить :oops:
Но Вы, видимо, тоже хотели сказать что-то другое :)

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 14:28 
Аватара пользователя
ИСН писал(а):
mkot, Вы предлагаете оценить сумму интегралом, который сам непонятно как оценивать.
Почему не понятно? Он точно считается. Даже написано как:
Женисбек писал(а):
$$\sum_{n=1}^\infty\frac 1{2^{\sqrt{n}}}\le\int_1^\infty\frac 1{2^{\sqrt{x-1}}}dx=\frac 2{\ln^2 2}$$


Я может быть не совсем определённо написал свою мысль.

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 14:31 
Аватара пользователя
Чёрт... торможу, мне этот интеграл показался каким-то неприятным и я с ним не стал разговаривать. :oops: В результате получил оценку в два раза хуже, зато методами средней школы.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group