О бесконечных десятичных дробях

[Poehavchij]

Читаю Ильин,Позняк - Матанализ.
Там написано что 0.4999.. = 0.5
Это.. так? Или я дурачек, ибо никогда не слышал про это? Я все таки всегда думал это разные числа

[Sinoid]

Poehavchij в сообщении #1547789 писал(а):

Там написано что 0.4999.. = 0.5

Poehavchij в сообщении #1547789 писал(а):

ибо никогда не слышал про это?

Ну, прям не знаю, что и сказать... Быть может, вам лучше почитать математику за 6 класс? Там как раз и про это тоже.

[Poehavchij]

Sinoid
Вероятно это прошло мимо меня)) Для меня это действительно вновинку узнать на первом курсе это
Ну т.е. действительно это одно и тоже число без всяких приближений?

-- 03.02.2022, 00:23 --

Sinoid
Я не хочу показаться идиотом, но в учебнике за 6-ой класс все таки этого не написано, несмотря на присутствие этой темы.
Факт того что 0.4999.. = 0.5 прям без всяких приближений, мол это одно число, как по мне нетривиален))

-- 03.02.2022, 00:43 --

Sinoid
Я не хочу показаться идиотом, но в учебнике за 6-ой класс все таки этого не написано, несмотря на присутствие этой темы.
Факт того что 0.4999.. = 0.5 прям без всяких приближений, мол это одно число, как по мне нетривиален))

[Booker48]

Poehavchij в сообщении #1547793 писал(а):

Sinoid
...в учебнике за 6-ой класс все таки этого не написано, несмотря на присутствие этой темы.
Факт того что 0.4999.. = 0.5 прям без всяких приближений, мол это одно число, как по мне нетривиален))

Ну, там дан алгоритм перевода бесконечной периодической дроби в обыкновенную. Просто воспользуйтесь им, ничего нетривиального.

[Mikhail_K]

Poehavchij в сообщении #1547793 писал(а):

Ну т.е. действительно это одно и тоже число без всяких приближений?

Да, это действительно одно и то же число.
По определению, $0.4999\ldots=0.4+0.09+0.009+0.0009+\ldots$.
Все слагаемые, кроме первого, образуют здесь бесконечную геометрическую прогрессию. Примените формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии и получите в сумме $0.5$.

Можно ещё тупо вычесть столбиком $0.5-0.4999\ldots$. Получите $0.000\ldots=0$.
При этом главное - не начать фантазировать, что "после бесконечного количества нулей после запятой там стоит единичка". Любая цифра в бесконечной десятичной дроби имеет конечный номер, "цифры номер бесконечность" никакой не бывает.

Ещё объяснение: $0.999\ldots=3\cdot 0.333\ldots=3\cdot\frac{1}{3}=1$. Соответственно, $0.0999\ldots=0.1$, $0.4999\ldots=0.4+0.0999\ldots=0.4+0.1=0.5$.

[Poehavchij]

Mikhail_K
Ооой как хорошо, спасибо большое за такой ответ) Теперь все стало понятно

[worm2]

Как я понимаю, Ильин–Позняк — это учебник для студентов вузов — математиков и физиков (не для школьников, и не для гуманитариев).
По идее, и изложение там должно быть по-взрослому.
Т.е. сначала за основу берутся конечные десятичные дроби и обычные, известные со школы, операции над ними.
Потом постулируется, что "действительное число — это бесконечная десятичная дробь". Причём сразу оговаривается, что эта дробь не должна оканчиваться бесконечной последовательностью девяток. А если вдруг получилось, что оканчивается — постулируется, что эти девятки нужно заменить нулями, увеличив предыдущую цифру.
Потом заново вводятся арифметические операции над этими числами и доказываются всякие теоремы, например, о том, что результаты этих операций существуют и однозначно определяются; о том, что когда числа заканчиваются бесконечными последовательностями нулей, то и результат ими заканчивается, и совпадает с тем, что было у конечных дробей; и т.п.
Суммы бесконечных рядов появляются сильно позже.

[Mikhail_K]

worm2
Даже если вещественные числа там определяются как бесконечные десятичные дроби, а равенства типа $0.4999\ldots=0.5$ просто постулируются, это не отменяет возникающий при первом чтении неформальный вопрос: а почему постулируется именно так, почему разумно так постулировать? Так как вопрос неформальный, при ответе на него вполне возможно "забегать вперёд", пусть даже при этом и возникает некий "логический круг". Не думаю, что есть много "взрослого" в том, чтобы просто отмахиваться от таких неформальных вопросов (мол, постулировано - значит постулировано).

Не говоря о том, что определение вещественных чисел сразу как просто бесконечных десятичных дробей - не единственное возможное и, как по мне, далеко не самое лучшее и самое красивое.

[Sdy]

Poehavchij,
Можно ещё так:
Положим $x = 0.(9)$, умножим левую и правую часть на $10$, получим $10x=9.(9) \Rightarrow 10x = 9 + 0.(9) \Rightarrow 10x = 9 + x \Rightarrow 9x = 9 \Rightarrow x = 1$.

[mihaild]

Открыл Ильин, Позняк, "Основы математического анализа", издание 2005 года.
Там как раз десятичные дроби предлагается брать из измерения отрезка: начинаем с нуля, добавляем по $\frac{1}{10}$, пока можно, дальше по $\frac{1}{100}$, по $\frac{1}{1000}$ и т.д., причем запрещаем покрывать последнюю точку (если очередная доля укладывается ровно $n + 1$ раз, то в соответствующий разряд всё равно пишем $n$ - требуем, чтобы что-то оставалось). При этом как раз оказываются разрешены бесконечные последовательности девяток, но запрещены последовательности нулей.

(Оффтоп)

Вообще ИМХО начинать с десятичных дробей - крайне странная идея, лучше честно взять сечения (или почти гомоморфизмы если хочется чтобы читатель страдал), а десятичные дроби уже рассматривать как способ записи сечений (и при этом ничего страшного в том, что некоторые сечения можно обозначить двумя способами, нет).

[Someone]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1547840 писал(а):

начинать с десятичных дробей - крайне странная идея

Мне тоже так кажется. Сразу возникает подозрение, что результат может зависеть от системы счисления…

[Padawan]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1547840 писал(а):

или почти гомоморфизмы

А что это?

[mihaild]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #1547940 писал(а):

А что это?

Функции $\mathbb Z \to \mathbb Z$ такие что $f(a + b) - f(a) - f(b)$ ограничено (для просто гомоморфизма это понятно тождественный нуль). Это кольцо (относительно покомпонентного сложения и композиции), в нём есть идеал ограниченных почти гомоморфизмов, фактор по этому идеалу изоморфен вещественным числам, вещественному числу $x$ можно сопоставить класс, в который входит функция $f(n) = \lfloor xn \rfloor$. В результате получается конструкция вещественных чисел прямо из целых, минуя рациональные и пополнение. Подробнее https://arxiv.org/abs/math/0405454.

[novichok2018]

Мне кажется, что с подобными равенствами не всё так просто. Можно конечно формальные действия элементарно проделывать, на 10 умножать и тд. Но строго, эта запись содержит бесконечный ряд, и без теории рядов и формулы для суммы бесконечной геометрической прогрессии, тоже ряда, аккуратно такие формулы не обосновать. Но подобные вещи в школе неизбежны, попытка всё в ней обосновывать строго - это вредный маразматический подход.

[mihaild]

novichok2018 в сообщении #1547961 писал(а):

Но строго, эта запись содержит бесконечный ряд

Это как-то перебор.
Строго - эта запись обозначает какое-то вещественное число, и нужно просто договориться о том, какое (или вообще запретить такую запись). Впрочем, чтобы об этом договориться, нужно сначала строго ввести вещественные числа, чего в школе уже делать не нужно.