Кубическое уравнение с модулем и параметром

[Jonik]

Добрый день. Есть задание

Найдите все значения $a$, при которых интервал $(-1; 1)$ не содержит точек минимума функции $f(x)=ax^3-2ax^2+3x+|2ax-a^2-1|$.

При $a=0$ получаем линейную функцию, значит данное $a$ подходит.
Раскрываю модуль сначала положительно ($x \geq \frac{a^2+1}{2a}$), потом отрицательно ($x \leq \frac{a^2+1}{2a}$).

Рассмотрим $x \geq \frac{a^2+1}{2a}$
$f(x)=ax^3-2ax^2+(3+2a)x-a^2-1$

$1.a>0$
$f'(x)=3ax^2-4ax+(3+2a)=0\Rightarrow x=\frac{2a\pm \sqrt{4a^2-6a-9}}{3a}$
Т.к. $a>0$, то минимумом будет являться больший корень производной и он должен быть $\geq 1 \Rightarrow x=\frac{2a + \sqrt{4a^2-6a-9}}{3a}\geq 1\Rightarrow a \geq 3$
Либо $\leq -1 \Rightarrow x=\frac{2a + \sqrt{4a^2-6a-9}}{3a}\leq -1\Rightarrow D < 0$
$2.a<0$
В данном случае минимумом будет являться меньший корень, но это все так же $x=\frac{2a + \sqrt{4a^2-6a-9}}{3a}$. При $\geq 1 \Rightarrow x=\frac{2a + \sqrt{4a^2-6a-9}}{3a}\geq 1\Rightarrow a \leq -1$

Дальше не стал рассматривать, т.к. ответ уже неверный. В чем проблема или может есть подход поинтересней?

[Gagarin1968]

Jonik
Обратите внимание, что $\forall x\in (-1;1)\land \forall a\in \mathbb{R}~~~~2ax-a^2-1<0$

[gefest_md]

Jonik
Если привлечь вторую производную, то модуль вроде должен исчезнуть. Дальше не рассматривал.

[Gagarin1968]

gefest_md в сообщении #1547733 писал(а):

Если привлечь вторую производную, то модуль вроде должен исчезнуть

Модуль исчезает при первом взгляде на данную функцию без какого-либо привлечения чего-либо. Я же выше написал, что выражение под знаком модуля строго отрицательно.
И не нужна никакая вторая производная. Для решения задачи достаточно первой.

[gefest_md]

Согласен по поводу модуля, потому что можно искать множество тех $a$, для которых существует точка минимума на заданном интервале, а потом взять дополнение этого множества до $\mathbb{R}$.

[Jonik]

Решение:

Раскрываем модель отрицательно, получаем кубическое уравнение. Берем производную $\Rightarrow$ квадратный трехчлен. При $0 \leq a \leq \frac{9}{10} \Rightarrow D \leq 0$ что нам подходит. Далее рассматриваем $ D > 0$ и 2 случая ($a > 0$, $a < 0$). При $a > 0$ $f'(1) \leq 0 \Rightarrow a \geq 1$. При $a < 0$ $f'(-1) \geq 0 \Rightarrow a \geq -\frac{3}{5}$. Объединяя, получаем ответ: $\left\{ \begin{array}{rcl} -\frac{3}{5} \leq a \leq \frac{9}{10}\\ a \geq 1 \\ \end{array} \right.$

[gefest_md]

Jonik
У Вас есть правильный ответ? Мой ответ $\left(-\infty,\frac{9}{10}\right]\cup\left[1,+\infty\right).$