осциляция ф.р. уравнения шредингера

[Vince Diesel]

Функция $G(x,t)=(4\pi t)^{-1/2}e^{-i x^2/4t}$ является фундаментальным решением уравнения Шредингера $iu_t=u_{xx}$. Какое объяснение/физический смысл у такой сильной осцилляции со все возрастающей частотой при $x\to\infty$? График, скажем, функции $\cos x^2$ это все более частая гребенка, не особо похожая на гладкую функцию, хотя ей является.

[lel0lel]

Волновой пакет состоит из бесконечного набора плоских волн, в том числе и с бесконечной энергией. Можно проверить, что средняя энергия системы в этом состоянии бесконечна, чтобы в этом убедиться удобно положить $t=1$ и выписать интеграл. Со временем пакет эволюционирует и нет ничего странного, что волны с бесконечной энергией дают бесконечные осцилляции. Если положить маленьким параметр $t$, то эти осцилляции есть уже вблизи начала координат. С точки зрения физики, такое состояние не имеет смысла, так как его нельзя создать.

[Osmiy]

Vince Diesel в сообщении #1547524 писал(а):

Функция $G(x,t)=(4\pi t)^{-1/2}e^{-i x^2/4t}$ является фундаментальным решением уравнения Шредингера $iu_t=u_{xx}$.

Проверил в Математике. Не сошлось. Вроде я нигде не ошибся. Можете перепроверить у себя?
Всё сошлось. Опечатался

[lel0lel]

А чего проверять, достаточно вспомнить диффузию или теплопроводность, только мнимую единичку стереть. Кстати, там эти решения имеют очень важный и ясный физический смысл.

[Cos(x-pi/2)]

Физический смысл подобого решения у. Ш. — это волновая функция свободной частицы, найденная с начальным условием: при $t=0$ частица находилась в точке $x=0.$ Рассмотрим поведение решения при фиксированном $t$ и небольших измененияx $x$ вблизи фиксированного $x_0,$ где $|x_0|\gg |x|.$

Для ясности пусть частица имеет массу $m,$ постоянную Планка полагаем равной единице. Тогда в привычных для физиков обозначениях у. Ш.: $iu_t=-\frac{1}{2m} u_{xx}.$ Перейдём к этим обозначениям заменой $t$ на $-t/(2m)$ в указанной выше функции $G(x,t).$ Подставим там $x_0+x$ вместо $x$ и воспользуемся приближением $(x_0+x)^2 \approx x_0^2+2x_0x.$ Тогда зависящий от $x$ множитель $\psi(x)$ в этой волновой функции примет вид $e^{ixmx_0/t}.$

Интерпретация: $x_0/t=v_0$ — скорость, $mv_0=p_0$ — импульс частицы, оказавшейся вблизи $x_0$ за время $t;$ волновая функция свободной частицы вблизи $x_0$ ведёт себя как плоская волна

$$e^{ixmx_0/t} = e^{ip_0x}$$

Это привычное в физике выражение для волновой функции свободной частицы.

Если аналогично рассмотреть поведение волновой функции при фиксированном $x_0$ и небольших измененияx $t$ вблизи фиксированного $t_0,$ как функцию $\psi(t),$ где $|t|\ll |t_0|,$ то получится тоже ожидаемый ответ:

$e^{-iEt},$ где $E=p_0^2/(2m)$ — энергия частицы с импульсом $p_0=m\, x_0/t_0.$

Т.е. сильные осцилляции функции $G(x,t)$ со все возрастающей частотой при $x\to\infty$ соответствуют физически тому факту, что для ухода на большое расстояние $x$ за заданное время $t,$ частица должна иметь достаточно большой импульс (и, соответственно, энергию). У Фейнмана где-то это написано; сейчас не вспомню, где.

[lel0lel]

Да, похоже на частицу со строго определённой координатой в начальный момент времени. Смущает правда, что в пределе $t\to0$ как-то не хочет распознаваться одно из многочисленных представлений дельта-функции. Можно посмотреть на диффузию, там подобное решение соответствует расплыванию пятна в некой среде, которое капнули в начало координат, то есть действительно дельта-функция, но там-то она очевидна.

[Osmiy]

Принципиален ли знак минуса перед кинетической энергией (вторая производная по координате)?

[Cos(x-pi/2)]

lel0lel, вот упражнение:

Пусть $a(p)$ есть фурье-образ волнового пакета свободной частицы $\psi(x,t=0)$ при $t=0.$ Тогда:

$$\psi(x,t)=\int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{dp}{2\pi} \, a(p)\, e^{ipx-iE(p)t}\, ,$$

где

$$E(p)=\frac{p^2}{2m}.$$

Фурье-образ для $\delta (x)$ есть $a(p)=1.$ Интеграл получается гауссов (для сходимости можно продолжить $t$ на мнимые значения заменой $t=-i\tau,$ где $\tau>0,$ а в ответе вернуться к действительному $t).$ Ответ:

$$\psi(x,t)=\left ( \frac{m}{2\pi i t} \right )^{1/2} e^{im x^2/(2t)}.$$

[lel0lel]

Cos(x-pi/2)
Да, спасибо. Было у меня изначально чувство, что это дельта-функция в начальный момент времени, но как-то засомневался из-за комплексной экспоненты.

[Vince Diesel]

Cos(x-pi/2)
Спасибо! То есть все сводится к тому, что квадратичная экспонента локально в окрестности точки $x_0$ похожа на экспоненту с линейным показателем, которая интерпретируется как плоская волна как раз с нужным импульсом для этой точки. Очень прозрачное объяснение.

[Red_Herring]

Vince Diesel в сообщении #1547524 писал(а):

Функция $G(x,t)=(4\pi t)^{-1/2}e^{-i x^2/4t}$ является фундаментальным решением уравнения Шредингера $iu_t=u_{xx}$.

Это не совсем так. Ф.р. будет $\frac{1}{\sqrt{4\pi |t|}} e^{\mp\frac{i\pi}{4}+\frac{ix^2}{4t}}$ при $\pm t >0$.
Разночтение в знаке при $\frac{ix^2}{4t}$ связано с несколько разными определениями но есть и более существенная разница. Проще всего получить правильное выражение ф.р. для у-я Шредингера из ф.р. для уравнения теплопроводности аналитическим продолжением с полуоси $t>0$ в правую комплексную полуплоскость по $t$ и затем предельным переходом на мнимую ось.