Существует элементарное доказательство трансцендентности Пи?

[Zeddikus]

Добрый день. Существует ли элементарное доказательство трансцендентности числа Пи без комплексных чисел и интегралов (как для Числа Эйлера)?
Я ищу доказательство, которое начинается с предположения существования целых чисел $C_i$, таких что $C_{n}\pi^{n}+C_{n-1}\pi^{n-1}+...+C_1\pi+C_0=0$, а потом после элементарных рассуждений получается противоречие. Возможно, с использованием представления числа Пи в той или иной форме.

[Sinoid]

Нет, не существует. Если верить Савватееву, это материал, который изучается на мехмате МГУ на протяжении аж целого семестра, что ли. Или 7 лекций он называл. Короче, что-то такое. Иррациональность пи, да, можно доказать сравнительно просто: интегрированием какого-то выражения. Какого-не скажу. А вот трансцендентность...

-- 31.01.2022, 00:59 --

Ну, вы сами представьте, о чем вы спрашиваете. Вы только на определение числа пи взгляните...

[kotenok gav]

Доказательство иррациональности через интегралы очень простое.

-- 31 янв 2022, 13:25 --

Вот оно.

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1547502 писал(а):

это материал, который изучается на мехмате МГУ на протяжении аж целого семестра, что ли.

Примерно треть семестра. Курс ТЧ на ММ состоит (состоял 10 лет назад) из трех примерно равных разделов: асимптотика количества простых чисел, иррационально $\pi$ и теорема Дирихле о простых числа.
Впрочем, в английской википедии есть не очень сложное доказательство теоремы Линдеманна, из которой трансцедентность $\pi$ автоматически следует.

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1547510 писал(а):

Примерно треть семестра.

Вот-вот.