Дифференцируема ли функция

[Padawan]

Дифференцируема ли функция $f(x,y)=\sqrt[3]{x^3+y^4}$ в точке $(0,0)$?

[nnosipov]

Ответ: да. В выражении

$$\varepsilon=\frac{\sqrt[3]{x^3+y^4}-x}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

нужно сделать замену $\sqrt{x^2+y^2}=r$, $x=rt$, где $t \in [-1,1]$, чтобы увидеть, что $\varepsilon \to 0$ при $r \to 0$ равномерно по $t$.

Upd. Кажется, вот такое неравенство верно: $\varepsilon<Cr^{1/3}$ с константой $C=2^{2/3}$.

[мат-ламер]

Наверное можно и так решать. Если функция дифференцируема, то её градиент в начале координат равен $\nabla f(0,0)=\{1,0\}$ . Это эквивалентно тому, что в окрестности этого начала выполняется равенство $f(x,y)=x+o(x,y)$ . Здесь очевидно $o(x,y) \sim yg(y\slash x)$ и это выражение стремится к нулю в окрестности начала координат (случай $x=0$ рассматриваем отдельно). Значит функция дифференцируема.

-- Пт янв 28, 2022 20:11:29 --

Немного дополню. Тут у меня не полное доказательство, а только краткий план его. Если надо, то можно и поподробнее написать. Открыл я учебник Тер-Крикорова-Шабунина (в соседней теме меня попросили привести определение дифференциала). И интересно, что в параграфе 26.2 этот пример решается совершенно по-другому. Не говоря о том, что определение дифференциала в этом учебнике не совсем такое, как я дал в соседней теме.

[nnosipov]

мат-ламер в сообщении #1547316 писал(а):

Тут у меня не полное доказательство, а только краткий план его.

Самое интересное здесь --- это аккуратно доказать, что о-малое действительно является о-малым. Это не совсем очевидно.

-- Сб янв 29, 2022 02:22:35 --

мат-ламер в сообщении #1547316 писал(а):

в параграфе 26.2 этот пример решается

О как, я решил упражнение из учебника.

[мат-ламер]

nnosipov в сообщении #1547325 писал(а):

Самое интересное здесь --- это аккуратно доказать, что о-малое действительно является о-малым. Это не совсем очевидно.

Согласен. У меня на бумаге были кое-какие вычисления в истинности которых я не уверен. Но я поверил, что вы всё доказали и решил этот момент не дублировать. Поэтому решил просто для случайного читателя темы показать, откуда взялось то выражение, с которого вы начали. Читателю неслучайному, конечно, и так всё ясно. И при переносе с бумаги на компьютер вкралась опечатка.

мат-ламер в сообщении #1547316 писал(а):

Здесь очевидно $o(x,y) \sim yg(y\slash x)$ и это выражение стремится к нулю в окрестности начала координат

На бумаге я доказывал стремление к нулю не этого выражения, а частного от деления этого выражения на норму двумерного вектора $\{x,y\}$ .

[lel0lel]

Рабоче-крестьянский метод: $x=a\varepsilon, y=b\varepsilon$, где $(a,b)$ единичный вектор направления выхода из начала координат, $\varepsilon$ бесконечно малая. Рассматриваем два случая $a\ne0$, $a=0$ и смотрим на линейную по $\varepsilon$ часть в разложении функции.

[nnosipov]

lel0lel в сообщении #1547349 писал(а):

Рабоче-крестьянский метод: $x=a\varepsilon, y=b\varepsilon$, где $(a,b)$ единичный вектор направления выхода из начала координат, $\varepsilon$ бесконечно малая.

Еще это называют перейти к полярным координатам.

[мат-ламер]

lel0lel в сообщении #1547349 писал(а):

Рабоче-крестьянский метод:

Там есть нюансы. Вообще говоря, из дифференцируемости по направлениям обычная дифференцируемость не следует. Однако, при выполнении некоторых условий, следует. Осталось разобраться, что это за условия и доказать их. См., например, Алексеев, Тихомиров, Фомин, "Оптимальное управление", п.2.2.3, следствие 2.

[lel0lel]

мат-ламер в сообщении #1547354 писал(а):

Там есть нюансы

получается во всех случаях одна и таже дифференциальная форма, что является определением дифференцируемости.

[мат-ламер]

lel0lel в сообщении #1547356 писал(а):

получается во всех случаях одна и таже дифференциальная форма, что является определением дифференцируемости.

А можно этот момент поподробнее? А то я совсем не догоняю.

[lel0lel]

Поигравшись с полярными координатами становится ясно, что нужно доказать следующее:
$\sqrt[3]{x^3+y^4}=x+o(\sqrt{x^2+y^2})$, при $x\to 0, y\to 0$, что почти очевидно в тех же полярных координатах, только нужна небольшая аккуратность с направлением вдоль оси $y$ и бесконечно близкими к нему. Вышеприведённое утверждение можно записать так $\sqrt[3]{x^3+y^4}=x+o(x)+o(y)$, при $x\to 0, y\to 0$.

[lel0lel]

Upd: сейчас заметил, что выше почти переписал сообщение nnosipov, это неподсознательный плагиат) так получилось, следуя определению дифференцируемости в точке.