предел функции (без Лопиталя и Тейлора)

[ShMaxG]

Подскажите пожалуйста, можно ли не использовав правила Лопиталя и формулы Тейлора найти предел:

\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{7x}} {{\ln \left( {1 + 3x} \right)}} \]

[mkot]

Можно, используя следующую запись второго замечательного:

$$ \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1. $$

[Really]

Воспользуйтесь замечательным логарифмическим пределом.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%87%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8B.

[ShMaxG]

Ага, спасибо, уже и сам сообразил.

[bot]

Кстати используя правило маркиза или локальную теорему Тейлора, Вы получаете порочный круг - и то и другое использует производную логарифма, производная которого находится именно из замечательного предела.

[citadeldimon]

ShMaxG в сообщении #154742 писал(а):

Подскажите пожалуйста, можно ли не использовав правила Лопиталя

Да его не то что можно, а и надо использовать . Надо только смотреть за тем, чтобы $g'(x)\not=0$ в некоторой окрестности точки $a$, где $g(x)-$ знаменатель.

Извиняюсь, не дочитал слово "не использовать"

[mkot]

citadeldimon писал(а):

Да его не то что можно, а и надо использовать Very Happy . Надо только смотреть за тем, чтобы $g'(x)\not=0$ в некоторой окрестности точки $a$, где $g(x)-$ знаменатель.

bot писал(а):

Кстати используя правило маркиза или локальную теорему Тейлора, Вы получаете порочный круг - и то и другое использует производную логарифма, производная которого находится именно из замечательного предела.

Тут я соглашусь с bot'ом. Попробуйте тогда доказать, что $\ln' x = \frac{1}{x}$ без использования
вышеназванного предела.

[ShMaxG]

А если так:

\[ \frac{{de^x }} {{dx}} = e^x \]

, делаем замену

\[ x = \ln t \]

. По правилу дифференцирования сложной функции:

\[ \frac{{de^x }} {{dx}} = \frac{{dt}} {{dt}}\frac{{dt}} {{dx}} = t \]

. Но

\[ \frac{{dx}} {{dt}} = \frac{{d\ln t}} {{dt}} \]

, откуда

\[ \frac{1} {t} = \frac{{d\ln t}} {{dt}} \]

.

[mkot]

Цитата:

А если так:

\[ \frac{{de^x }}{{dx}} = e^x\]

, делаем замену $x = \ln t$.
По правилу дифференцирования сложной функции:

Я так и знал, что мне укажут на этот способ. Но заметим, что при этом используется производная
$\exp(x)$, которая выводится с помощью предела

$$ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1. $$

А это, во-первых, тот же предел, но шиворот на выворот, а во-вторых, это значит что при вычислении и этого предела правило Лопиталя использовать нельзя.

[ShMaxG]

Понятно.

[zoo]

кажется самое время подумать об определении логарифмической и показательной функции

[citadeldimon]

zoo писал(а):

кажется самое время подумать об определении логарифмической и показательной функции

Согласен на 101%

mkot в сообщении #154943 писал(а):

Попробуйте тогда доказать, что без использования
вышеназванного предела.

А про теорему про производную обратной функции
забыли? Там никакого предела не надо, кроме того, что $(e^x)'=e^x$

[zoo]

citadeldimon в сообщении #154961 писал(а):

$(e^x)'=e^x$

а это откуда взялось?

[citadeldimon]

zoo писал(а):

citadeldimon в сообщении #154961 писал(а):

$(e^x)'=e^x$

а это откуда взялось?

Согласен, но есть и немного другой вариант - сделать замену $x=it$ и
воспользоваться формулой Эйлера, а производные синуса и косинуса известны.

[zoo]

citadeldimon писал(а):

zoo писал(а):

citadeldimon в сообщении #154961 писал(а):

$(e^x)'=e^x$

а это откуда взялось?

Согласен, но есть и немного другой вариант - сделать замену $x=it$ и
воспользоваться формулой Эйлера, а производные синуса и косинуса известны.

а формула Эйлера откуда взялась?