Подобие и конгруэнтность матриц

[artempalkin]

1) Две матрицы подобны, будут ли они обязательно конгруэнтны?

На первый взгляд ответ не может быть "да", потому что это было бы очень сильное утверждение. И ответ, конечно, "нет". Легко привести контрпример: симметрическая матрица может быть конгруэнтна только симметрической матрице, а вот подобна совсем не обязательно симметрической.

2) Если две симметрические матрицы подобны, обязательно ли они конгруэнтны?

Вот тут как бы не так очевидно, и я не до конца уверен.

Инвариантами конгруэнтности являются положительные и отрицательные индексы инерции (и, следовательно, ранг, знак определителя... можно еще что-то придумать, наверное). То есть две симметрические матрицы будут конгруэнтны тогда и только тогда, когда их положительные и отрицательные индексы инерции совпадают.

Будут ли эти самые индексы инерции совпадать у двух подобных симметрических матриц?
Они точно совпадут, если матрицы положительно или отрицательно определены (т.к. у подобных матриц совпадают СЗ, а значит в симметрическом случае сохраняется знакоопределенность).
Также они точно совпадут в случае неотрицательной и неположительной определенности (потому что совпадают СЗ и ранг).
Но вот в случае знаконеопределенной симметрической матрицы... Как-то неочевидно. Я даже подозреваю, что ответ "нет", либо есть какое-то простое соображение, которого я не вижу.

[mihaild]

Вы знаете, что симметричную матрицу можно привести к диагональной форме ортогональным преобразованием? Из этого почти сразу следует ответ на ваш вопрос.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1547135 писал(а):

Вы знаете, что симметричную матрицу можно привести к диагональной форме ортогональным преобразованием? Из этого почти сразу следует ответ на ваш вопрос.

Знаю, но что-то не вижу, как это отвечает на мой вопрос.

Допустим две симметричные матрицы подобны $A=C^{-1}BC$. Обе их можно привести к диагональной форме ортогональным преобразованием: $Q^T\Lambda Q=C^{-1}U^T\Lambda UC$...

Не вижу, чтобы это доказывало конгруэнтность $A$ и $B$.

-- 26.01.2022, 12:22 --

Ааа, впрочем, да, понимаю. Получается, они будут ортогонально подобны одной и той же диагональной матрице, а значит и конгруэнтны ей, а значит и конгруэнтны друг другу.
Да, как-то не смог этот момент вычленить из нагромождения фактов. Спасибо!

-- 26.01.2022, 12:29 --

Тогда другой вопрос: конгруэнтные симметрические матрицы подобны друг другу? Нет, это уже не верно, потому что собственные значения могут не совпадать.

-- 26.01.2022, 12:35 --

Обдумывая эту задачу, я пришел вот к такому более интересному вопросу:

Для симметрических матриц: В случаях строгой или нестрогой знакоопределенности количество положительных и отрицательных СЗ будут совпадать с соответствующими индексами инерции. А в общем случае?

[artempalkin]

Получается, что ответ "да"!
У симметрической матрицы количество положительных и отрицательных собственных значений совпадает с соответствующими индексами инерции!

Опять же, если ее ортогонально привести к диагональному виду, то она в том числе будет конгруэнтна матрице с положительными и отрицательными индексами инерции, равными количеству положительных и отрицательных чисел на диагонали, то есть в конечном итоге количеству положительных и отрицательных собственных значений исходной матрицы.