2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать выражения
Сообщение14.01.2022, 20:01 


22/05/16
171
1) Доказать, что для любого $n\in \mathbb{N} , n \geqslant 2$. Справедливо неравенство
$1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} +....+\frac{1}{\sqrt{n}}> \sqrt{n} $ . Решение. Для $n=2, 1 +  \frac{1}{\sqrt{2}} >\sqrt{2}  $ выполняется. Выпишем выражение для $n=k,n=k+1$. $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} +....+\frac{1}{\sqrt{k}}> \sqrt{k} $ и $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} +....+\frac{1}{\sqrt{k}} +\frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1} $. Вычтем из второго первое и получим $\frac{1}{\sqrt{k+1}} >\sqrt{k+1}-\sqrt{k} $. Теперь покажем, что неравенство выполняется. Несколько преобразований и мы получим $\frac{-k}{k+\sqrt{k^2+k}}<0$. Неравенство верно. Отсюда следует, что слагаемое которое добавляется в левую часть неравенства больше чем слагаемое которое добавляется к правой части. Исходное неравенство верно!

2)$2^2^n-6$ делиться на 10 для любого $n\in \mathbb{N} , n \geqslant 2$. Решение. Для $n=2, 2^4-6=10  $ выполняется. Предполагаем, что выполняется для $n=k,2^{2^{k}}-6$. Делаем шаг $n=k+1,(2^{2^{k}})^2-6$.Выражение $2^{2^{k}}$ заканчивается на 6 квадрат тоже будет заканчиваться на 6. $6-6=0$ следует исходное выражение делится на 10

3)$7^n+3n-1$ делиться на 9 для любого $n\in \mathbb{N} , n \geqslant 2$. Решение. Для $n=2, 49+6-1=54  $ выполняется. Предполагаем, что выполняется для $n=k,7^k+3k-1$. Делаем шаг $n=k+1,7\ast7^k+3k+2$. Тогда $7\ast7^k+3k+2-7^k-3k+1=7^k(7-1)+3$. Выражение $7^k(7-1)+3$ должно делиться на 9. Выражение $7^k \ast 2+1$ должно делится на 3. При делении на $7^k$ остаток 1.Тогда $2\ast1+1$ остаток 0. При $n=k+1$ выражение делиться на 9, так как к выражению которое делиться на 9 прибавили выражение которое тоже делится на 9. Сумма тоже будет делится на 9. Исходное выражение будет делится на 9.

Подскажите пожалуйста в чем я не прав. Спасибо большое !!!

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать выражения
Сообщение14.01.2022, 22:46 
Заслуженный участник


20/04/10
1878
Вы везде использовали математическую индукцию, это удобно и правильно в подобных случаях. А теперь попробуйте решить эти же задача без использования индукции, будет полезно, да и спортивный интерес.
dima_1985 в сообщении #1546127 писал(а):
Вычтем из второго первое и получим $\frac{1}{\sqrt{k+1}} >\sqrt{k+1}-\sqrt{k} $

Здесь следует аккуратнее действовать. Пример почему: $7>6$ и $8>7.5$, вычтем из второго первое, получим...?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать выражения
Сообщение14.01.2022, 23:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
dima_1985 в сообщении #1546127 писал(а):
Вычтем из второго первое и получим
Неравенства с одинаковыми знаками нельзя вычитать, их можно только складывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать выражения
Сообщение15.01.2022, 08:56 
Заблокирован


16/04/18

1129
Чтобы поучиться, есть хорошая книжка: Соминский. Метод математической индукции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать выражения
Сообщение20.01.2022, 23:16 


22/05/16
171
dima_1985 в сообщении #1546127 писал(а):
1) Доказать, что для любого $n\in \mathbb{N} , n \geqslant 2$. Справедливо неравенство
$1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} +....+\frac{1}{\sqrt{n}}> \sqrt{n} $

Может тут нужно чуть аккуратней?
Левую часть неравенства обозначим через $S_{n}$.
1) Проверим для $S_{2}=1 + \frac{1}{\sqrt{2}};S_{2}> \sqrt{2} $
2) Допустим справедливость для $S_{k}>\sqrt{k}$
3) Докажем справедливость для $S_{k+1}>\sqrt{k+1}$.Вычтем из $S_{k+1}-S_{k} = \frac{1}{\sqrt{k+1}}$. Покажем что $ \frac{1}{\sqrt{k+1}}> \sqrt{k+1} -\sqrt{k} $.После преобразований $ \frac{-k}{k+\sqrt{k^2+k}}<0 $.
Исходное неравенство верно(на каждом шаге к левой части неравенства прибавляем число большее чем прибавляем к правой части )

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать выражения
Сообщение21.01.2022, 06:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5494
Нов-ск
dima_1985 в сообщении #1546629 писал(а):
3) Докажем справедливость для $S_{k+1}>\sqrt{k+1}$.Вычтем из $S_{k+1}-S_{k} = \frac{1}{\sqrt{k+1}}$. Покажем что $ \frac{1}{\sqrt{k+1}}> \sqrt{k+1} -\sqrt{k} $.После преобразований $ \frac{-k}{k+\sqrt{k^2+k}}<0 $.
Исходное неравенство верно(на каждом шаге к левой части неравенства прибавляем число большее чем прибавляем к правой части )

3) Складывая $S_{k}>\sqrt{k}}$ и $ \frac{1}{\sqrt{k+1}}> \sqrt{k+1} -\sqrt{k}=  \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$, получаем $S_{k+1} >\sqrt{k+1}}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать выражения
Сообщение21.01.2022, 09:06 
Заблокирован


16/04/18

1129
dima_1985 -первое неравенство просто очевидно: замените каждое слагаемое на последнее, которое самое маленькое.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: tolstopuz


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group