В одной монографии по методам оптимизации была доказана известная теорема (1):
Пусть

точка локального минимума дифференцируемой функции

. Тогда

.
Затем доказывается следствие: Пусть

точка локального минимума дифференцируемой функции

при ограничениях в виде линейных равенств:

, где

матрица,

,

. Тогда существует такой вектор множителей

, что

.
Доказательство. Рассмотрим некоторые векторы

, которые формируют базис нуль-пространства матрицы

. Тогда любой вектор

может быть представлен в виде:

,

Более того точка

, представляет собой локальный минимум функции

. Из теоремы (1) следует что

. Отсюда получаем что

, i=1,...k. И равенство

доказано.
Прошу объяснить
1. базис нуль-пространства матрицы

- это базис ядра линейного оператора в виде матрицы

?
2. на основании чего можно любой вектор

(т.е. по сути решение СЛАУ) разложить в виде линейной комбинации базисных векторов ядра матрицы

и еще одного вектора

?
3. почему скалярное произведение

является частной производной?