Методы и результаты нестандартного анализа

[EminentVictorians]

Меня какое-то время назад заинтересовала тема нестандартного анализа. Я там даже что-то почитал пару часов, но на большее у меня энтузиазма не хватило. Теперь очередной виток настроения пошел, думаю, может хоть на этот раз что-то получится хотя кого я обманываю..

Перед тем, как начинать конкретно читать саму технику, я бы хотел в общих чертах прояснить для себя общее направление мысли этой науки.

Дело в том, что мне вполне нравится обычный матанализ. Я очень комфортно чувствую себя с его понятиями и теоремами. Поэтому для того, чтобы переместить фокус своего внимания на какую-то альтернативную теорию, мне нужны очень веские аргументы.

Если говорить об обычном матанализе, то он изучает, помимо всего прочего,числа и функции. Эти функции могут быть моделями каких-то реальных процессов и благодаря развитой математической теории мы можем предсказывать поведение этих процессов, моделировать различные условия для протекания этих процессов и т.д. Верно ли я понимаю, что нестандартный анализ здесь не исключение? В том смысле, что он тоже рассматривает числа и функции и претендует на роль той самой развитой математической теории, благодаря которой может осуществляться связь между теоретическим моделированием и практической деятельностью?

Просто единственная причина, по которой я готов изучать нестандартный анализ - это получение методов исследования, недоступных (или сильно сложно реализуемых) в рамках обычного матанализа. Хотелось бы узнать, есть ли такие методы или нет.

Тут напрашивается аналогия с конструктивным анализом. Насколько я понимаю (вычитал из одного обсуждения в ЖЖ с участием sowa) конструктивный анализ оказался в целом бесполезен, не принес никаких новых результатов. Я смотрю на конструктивный анализ как на раздел матлогики. Если у кого-то есть сильное стремление к формализму и он не верит, например, в классическую логику, то у него и выхода по большому счету нету, кроме как использовать конструктивный анализ. Но у меня, как я уже здесь писал, проблем с этим всем нету, поэтому мне изучать конструктивный анализ, получается, бессмысленно (интересно то, что я о том трэде узнал уже после моей здешней темы о матлогике, и я прям выдохнул после того, как почитал его). Не получится ли с нестандартным анализом то же самое? (а то вдруг он в целом бесполезен и был придуман логиками лишь как игрушка для общественности, мол "посмотрите, можете без потери строгости доказывать теоремы, как Эйлер")

-- 17.01.2022, 14:21 --

UPD: Поправил ссылку

[Mikhail_K]

EminentVictorians в сообщении #1546280 писал(а):

Просто единственная причина, по которой я готов изучать нестандартный анализ - это получение методов исследования, недоступных (или сильно сложно реализуемых) в рамках обычного матанализа.

Тогда не изучайте. Займитесь чем-то более приземлённым. Не то чтобы я взялся утверждать, что у нестандартного анализа нет и никогда не будет приложений; но, право же, вы наверняка легко найдёте кучу ещё неизученных Вами областей математики, которые были бы гораздо ближе к "практической деятельности".

Нестандартный анализ - одна из таких областей, которые изучают не ради приложений (даже если они есть), а просто если интересны такие вот штуки сами по себе.

[EminentVictorians]

Mikhail_K в сообщении #1546284 писал(а):

вы наверняка легко найдёте кучу ещё неизученных Вами областей математики, которые были бы гораздо ближе к "практической деятельности".

Это точно. Но тут есть один нюанс. Я не свожу роль математики к ее практической составляющей. На примере матанализа: это хорошо, что матанализ находит применение в практической деятельности, но мне больше интересна сама теория функций действительной переменной. А вот теория нестандартного анализа, учитывая мой ее очень поверхностный обзор, мне не интересна сама по себе. Но если она даст методы для изучения ТФДП, шкурка будет стоить выделки. Короче говоря, во главе угла стоит ТФДП, а не практика. Хочется посмотреть на тот кусок ТФДП, который идет условно после Натансона/Сакса. Иными словами, я возлагаю надежду на нестандартный анализ в плане наличия в нем методов для решения вопросов из классической ТФДП. Т.е. про "приложения" я имею в виду скорее внутриматематические приложения к классическим областям, чем приложения в смысле практики.

Кстати, а можно такой вопрос? Алгебру Вы относите к "прикладному" разделу или "теории в себе"?

[Someone]

EminentVictorians в сообщении #1546280 писал(а):

Просто единственная причина, по которой я готов изучать нестандартный анализ - это получение методов исследования, недоступных (или сильно сложно реализуемых) в рамках обычного матанализа. Хотелось бы узнать, есть ли такие методы или нет.

Нестандартный анализ строится так, чтобы в нём были доказуемы в точности те же утверждения о действительных числах и функциях, которые доказуемы в стандартном анализе, поэтому ничего нового о них в нестандартном анализе доказать нельзя. Однако в нестандартном анализе есть бесконечно малые и бесконечно большие числа, что позволяет формализовать рассуждения в духе основоположников "математического анализа бесконечно малых". Например: "разобьём отрезок на бесконечное число бесконечно малых частей" или "пусть $\Delta x$ — бесконечно малое приращение".

EminentVictorians в сообщении #1546280 писал(а):

Тут напрашивается аналогия с конструктивным анализом. … Не получится ли с нестандартным анализом то же самое?

Скорее всего, получится. И конструктивный анализ (во множестве разновидностей", и нестандартный анализ создавались не для того, чтобы с их помощью получить что-то новое, чего нельзя получить в "стандартном" анализе.

[EminentVictorians]

Someone в сообщении #1546299 писал(а):

Нестандартный анализ строится так, чтобы в нём были доказуемы в точности те же утверждения о действительных числах и функциях, которые доказуемы в стандартном анализе

С эквивалентностью теорем понятно. Но может быть нестандартный анализ сможет дать методы, которые значительно упростят процесс получения результатов? Это бы окупило усилия на его изучение. Вдруг гипервещественные числа "видят" закономерности, трудно улавливаемые с точки зрения обычного $\mathbb{R}$?

[iifat]

EminentVictorians в сообщении #1546301 писал(а):

методы, которые значительно упростят процесс получения результатов?

Ну, помнится, в книжке, которую я читал, были приведены очень простые доказательства некоторых теорем. Так что перевод утверждения в форму нестандартного анализа и попытка доказательства в его терминах может, наверное, считаться таким методом.

[EminentVictorians]

iifat в сообщении #1546309 писал(а):

Так что перевод утверждения в форму нестандартного анализа и попытка доказательства в его терминах может, наверное, считаться таким методом.

Да, я вот это и имею в виду. Смена языка может существенно упростить теорию. Но упрощает ли на самом деле и насколько?

[iifat]

EminentVictorians в сообщении #1546325 писал(а):

упрощает ли на самом деле и насколько?

Книжка у меня была на бумаге, точного названия не помню и сама книга где-то затерялась. Те две или три теоремы, которые там приводились для примера, действительнро сильно проще; однако ж в сумме — разобраться в нестандартном анализе и простенько доказать теорему — думаю, сильно сложнее.

[EminentVictorians]

Someone в сообщении #1546299 писал(а):

И конструктивный анализ (во множестве разновидностей", и нестандартный анализ создавались не для того, чтобы с их помощью получить что-то новое, чего нельзя получить в "стандартном" анализе.

А можете рассказать об этом?