матричное уравнение AB-BA

[zykov]

Найти все натуральные $n$, такие что существуют действительные обратимые $n \times n$ матрицы $A$ и $B$ для которых верно

$$AB-BA=B^2 A$$

[novichok2018]

Следы посчитать?

[svv]

novichok2018, имеете в виду, что решений нет, как для $AB-BA=E$?

Решения есть, например, для $n=2$
$A=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix}-1&1\\-1&-1\end{bmatrix}$
А значит, и для любого чётного $n$ — взять блочно-диагональные матрицы с такими блоками.

[Padawan]

При нечётном $n$ не существует таких невырожденных матриц. Уравнение можно переписать в виде $ABA^{-1}=B+B^2$. Так как характеристические многочлены матриц $B$ и $ABA^{-1}$ совпадают, то получаем, что если $\lambda$ является собственным значением матрицы $B$, то и $g(\lambda)=\lambda+\lambda^2$ тоже является собственным значением матрицы $B$. Но при нечетном $n$ матрица $B$ имеет вещественное собственное значение, но вроде бы последовательность итераций $\{g^{\circ k}(\lambda)\}_{k=1}^\infty$ при вещественном $\lambda$ может быть конечной только в случае $\lambda=0$, что нас не устраивает ($B$ невырождена).

А вот при комплексном $\lambda$ последовательность $\{g^{\circ k}(\lambda)\}_{k=1}^\infty$ может и зациклится, например, при $\lambda=-1\pm i$, что как раз есть собственные числа матрицы $B$, указанной уважаемым svv.

[novichok2018]

Не так категорично, я имел в виду что после взятия следов получается по крайней мере необходимое условие. Можно помечтать, что оно окажется и достаточным, но вряд ли. Как то так.

[zykov]

Да, всё верно.
Если матрица $B$ имеет действительное собственное значение $\lambda$, то действительное значение $\lambda^2+\lambda$ тоже будет её собственным значением.
Этот процесс можно продолжить, но полное количество собственных значений не более $n$, значит где-то должно встретиться значение, которое уже было. Т.е. будет цикл длины $1 \leq m \leq n$. Тогда $\lambda_{k+1}=\lambda_k^2+\lambda_k$ для $k=1..m-1$ и $\lambda_1=\lambda_m^2+\lambda_m$.
Если сложить эти равентсва, то получится $\lambda_1^2+...+\lambda_m^2=0$, значит все эти действительные значения равны нулю, что противоречит обратимости $B$.

Для нечётных $n$ характеристический многочлен матрицы $B$ - действительный многочлен нечётной степени, который имеет минимум один действительный корень.
Значит при нечётных $n$ таких матриц не существует.

Для $n=2$ легко подобрать вариант.
Можно попробовать $B$ в виде диагональной матрицы и в виде клетки Жордана (сама матрица в таком виде не обязана быть действительной, но должна приводиться к действительной).
Второй вариант сразу отпадает, т.к. там два одинаковых собственных значения, которые не могут быть действительными (матрица $B$ не может иметь действительные). След матрицы равен удвоенной величине этого собственного значения. А след действительной матрицы должен быть действительным.
Для первого варианта будет $(x^2+x)^2+x^2+x=x$, что даёт $x^2 (x^2+2 x+2)=0$. Кроме нулевого корня будут два комплексных сопряженных корня $-1\pm i$.
Для такой диагональной матрицы легко подобрать действительную матрицу. След равен $-2$, определитель равен $2$.
Например можно взять на диагонали $B$ две $-1$, тогда вне диагонали можно взять $1$ и $-1$.

Естественно, для любого чётного $n$ можно просто на диагонали расставить такие блоки $2 \times 2$.