2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 матричное уравнение AB-BA
Сообщение12.01.2022, 14:02 


18/09/21
1676
Найти все натуральные $n$, такие что существуют действительные обратимые $n \times n$ матрицы $A$ и $B$ для которых верно $$AB-BA=B^2 A$$

 Профиль  
                  
 
 Re: матричное уравнение AB-BA
Сообщение12.01.2022, 16:00 
Заблокирован


16/04/18

1129
Следы посчитать?

 Профиль  
                  
 
 Re: матричное уравнение AB-BA
Сообщение12.01.2022, 17:48 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
novichok2018, имеете в виду, что решений нет, как для $AB-BA=E$?

Решения есть, например, для $n=2$
$A=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix}-1&1\\-1&-1\end{bmatrix}$
А значит, и для любого чётного $n$ — взять блочно-диагональные матрицы с такими блоками.

 Профиль  
                  
 
 Re: матричное уравнение AB-BA
Сообщение12.01.2022, 21:30 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
При нечётном $n$ не существует таких невырожденных матриц. Уравнение можно переписать в виде $ABA^{-1}=B+B^2$. Так как характеристические многочлены матриц $B$ и $ABA^{-1}$ совпадают, то получаем, что если $\lambda$ является собственным значением матрицы $B$, то и $g(\lambda)=\lambda+\lambda^2$ тоже является собственным значением матрицы $B$. Но при нечетном $n$ матрица $B$ имеет вещественное собственное значение, но вроде бы последовательность итераций $\{g^{\circ k}(\lambda)\}_{k=1}^\infty$ при вещественном $\lambda$ может быть конечной только в случае $\lambda=0$, что нас не устраивает ($B$ невырождена).

А вот при комплексном $\lambda$ последовательность $\{g^{\circ k}(\lambda)\}_{k=1}^\infty$ может и зациклится, например, при $\lambda=-1\pm i$, что как раз есть собственные числа матрицы $B$, указанной уважаемым svv.

 Профиль  
                  
 
 Re: матричное уравнение AB-BA
Сообщение12.01.2022, 21:33 
Заблокирован


16/04/18

1129
Не так категорично, я имел в виду что после взятия следов получается по крайней мере необходимое условие. Можно помечтать, что оно окажется и достаточным, но вряд ли. Как то так.

 Профиль  
                  
 
 Re: матричное уравнение AB-BA
Сообщение16.01.2022, 19:17 


18/09/21
1676
Да, всё верно.
Если матрица $B$ имеет действительное собственное значение $\lambda$, то действительное значение $\lambda^2+\lambda$ тоже будет её собственным значением.
Этот процесс можно продолжить, но полное количество собственных значений не более $n$, значит где-то должно встретиться значение, которое уже было. Т.е. будет цикл длины $1 \leq m \leq n$. Тогда $\lambda_{k+1}=\lambda_k^2+\lambda_k$ для $k=1..m-1$ и $\lambda_1=\lambda_m^2+\lambda_m$.
Если сложить эти равентсва, то получится $\lambda_1^2+...+\lambda_m^2=0$, значит все эти действительные значения равны нулю, что противоречит обратимости $B$.

Для нечётных $n$ характеристический многочлен матрицы $B$ - действительный многочлен нечётной степени, который имеет минимум один действительный корень.
Значит при нечётных $n$ таких матриц не существует.

Для $n=2$ легко подобрать вариант.
Можно попробовать $B$ в виде диагональной матрицы и в виде клетки Жордана (сама матрица в таком виде не обязана быть действительной, но должна приводиться к действительной).
Второй вариант сразу отпадает, т.к. там два одинаковых собственных значения, которые не могут быть действительными (матрица $B$ не может иметь действительные). След матрицы равен удвоенной величине этого собственного значения. А след действительной матрицы должен быть действительным.
Для первого варианта будет $(x^2+x)^2+x^2+x=x$, что даёт $x^2 (x^2+2 x+2)=0$. Кроме нулевого корня будут два комплексных сопряженных корня $-1\pm i$.
Для такой диагональной матрицы легко подобрать действительную матрицу. След равен $-2$, определитель равен $2$.
Например можно взять на диагонали $B$ две $-1$, тогда вне диагонали можно взять $1$ и $-1$.

Естественно, для любого чётного $n$ можно просто на диагонали расставить такие блоки $2 \times 2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group