В данном случае легко можно сразу доказать, что если есть контрпример, то есть и ограниченный контрпример: пересечение множества положительной меры с каким-то отрезком
![$[-n, n]$ $[-n, n]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/4/7d41e144765e1356ab9ac956bd8bc16f82.png)
тоже имеет положительную меру, если в исходном множестве не было непустых интервалов то и в пересечении их не будет - вот мы и сделали из произвольного контрпримера ограниченный. Можно теперь применить к нему преобразование

, и сказать что если контрпример вообще есть, то он есть и на отрезке
![$[0, 1]$ $[0, 1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/8/e88c070a4a52572ef1d5792a341c090082.png)
.
На

вы имели в виду. Да согласен, очень хороший подход для упрощения взгляда на задачу, спасибо!
Неверно. Толстое канторово множество
.
Ого, надо же, даже такие множества бывают. Я уже настолько привык, что разные хитрые множества на единичном отрезке имеют меру либо

, либо

, что думал, что это по большому счету всегда будет верно.
Более того, раньше я пытался строить множества, подобные канторову, но всегда получал меру ноль. Теперь буду знать, что, оказывается, бывают и другие. Спасибо!