Интеграл от произведения пл. вероятности и её второй произв.

[Gickle]

Имеется интеграл такого вида:

$$I = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d}x f(x) f''(x).$$

Здесь $f$ -- ограниченная плотность вероятности, убывающая на бесконечностях достаточно быстро для любых нужд. Обозначим, кроме того,

$$p = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d}x f(x)^2.$$

Вопрос: есть ли возможность выразить $I$ через $p$ и моменты $m_k = \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}x x^k f(x)$? Ну, скажем, в виде какого-то ряда. Я понимаю, что вряд ли какое-то вменяемое выражение можно получить без конкретизации плотности вероятности, но мало ли...

Почему я вообще предполагаю, что такое возможно? Насколько я знаю, плотности вероятности, описываемые ограниченными функциями, однозначно определены их моментами. Тогда, предполагая для простоты, что $f$ является ещё и аналитической (если это нужно -- не проблема), её можно разложить в ряд Тейлора,

$$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k.$$

Если бы мы могли выразить $f^{(k)}(0)$ через моменты распределения, то задача была бы закрыта. Как понимаю, теоретически такое должно быть возможно, поскольку и ряд Тейлора, и моменты распределения определяют аналитическую, ограниченную плотность распределения единственным образом. Но на практике, видимо, фиг их свяжешь.

Ещё я прочитал про Gram–Charlier A series/Edgeworth series. Как я понял, если $f(x)$ спадает на бесконечностях быстрее $\exp(-x^2/4)$, то она представима в виде следующего сходящегося ряда:

$$f(x) = \phi(x) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n! \sigma^n} B_n(0,0,\kappa_1,\kappa_2,\ldots,\kappa_n) \mathrm{He}_n\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right),$$

где $\kappa_n$ -- кумулянты распределения, $\sigma = \kappa_2 = m_2 - m_1^2$, $\mu = \kappa_1 = m_1$, $\phi$ -- плотность вероятности $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, а $\mathrm{He}_n$ и $B_n$ -- (математические) полиномы Эрмита и Белла соответственно. Ну и идея, насколько я это понимаю, заключается в том, что $f$ приближается вот этим рядом с нормальным распределением в качестве затравки (в теории можно выбрать и другую затравку, конечно, но тогда нет гарантии, что получится какое-то красивое выражение).

Если теперь взять производную дважды, подставить в $I$ и немного причесать, то всё было бы вообще замечательно (в конце концов, $E[P(X)]$ вычисляется элементарно), если бы не $\phi$. Можно, конечно, разложить $\phi(x)$ в ряд Тейлора и получить двойной ряд, формально отвечающий желаемому, но это уж совсем некрасиво/непрактично. Может, есть всё-таки какое-то достаточно элегантное решение? Или его нет и быть не может?

[Евгений Машеров]

Есть такая злая зверушка, как "проблема моментов". И функции распределения, которые в смысле моментов "определённые", удовлетворяют некоторым ограничениям. Выполняются ли они здесь - не уверен. И снимается ли неопределённость, если к моментам добавить p?
Выражения для f(x), насколько понимаю, не предполагается? А то было бы просто разложить в ряд f"(x), и почленно проинтегрировать, выражая члены ряда через моменты...

[Gickle]

Евгений Машеров
Ага, да, именно об этом звере речь и идёт. В форме проблемы Гамбургера (ну или Стильеса, если она вдруг проще). Как понимял, для того чтобы последовательность моментов $\lbrace m_n\rbrace$ действительно отвечала некоторой мере Бореля ($\implies$ некоторой функции вероятности $\implies$ плотности вероятности), должно выполняться некоторое условие на матрицу Ганкеля, составленную из моментов $\lbrace m_n \rbrace$. Чтобы решение было единственным, есть разного рода достаточные условия. Вот предположим, что это всё выполняется (корни растут из физики, а там так можно). Можно ли тогда как-то выразить $f$ через моменты? Или это из тех случаев, когда доказали, что в таких-то случаях решение существует и оно единственно, но вот как его искать, никто не знает?

[Евгений Машеров]

Я, конечно, понимаю, что у нас "страна советов", за которые не отвечаешь. Но, столкнись я с такой задачей, попытался бы найти семейство явно заданных распределений, параметры которых оценивал бы методом моментов. Мне кажется, что для получения решения в общем виде нужны дополнительные условия, которые, однако, сформулировать не могу. Кстати, упоминание "ограниченных плотностей распределения"это имеются в виду "сосредоточенные на конечном интервале"? Или подразумевается "значения плотности распределения конечны"? В последнем случае, кажется, утверждение о возможности однозначно определить распределение по моментам неверно, есть контрпример с логнормальным.

[Gickle]

Евгений Машеров в сообщении #1545978 писал(а):

Я, конечно, понимаю, что у нас "страна советов", за которые не отвечаешь. Но, столкнись я с такой задачей, попытался бы найти семейство явно заданных распределений, параметры которых оценивал бы методом моментов.

Ну, у меня примерно такое же впечатление создалось после нескольких дней работы с литературой. В том смысле, что в какого-то общего результата для этой проблемы нет. Мне бы в идеале именно такое, конечно, потому что у меня глобальная цель была не в том, чтобы плотность распределения по моментам реконструировать, а в том, чтобы определённые уравнения, сформулированные для плотности распределения, попытаться переписать в терминах моментов.

Евгений Машеров в сообщении #1545978 писал(а):

Кстати, упоминание "ограниченных плотностей распределения"это имеются в виду "сосредоточенные на конечном интервале"? Или подразумевается "значения плотности распределения конечны"? В последнем случае, кажется, утверждение о возможности однозначно определить распределение по моментам неверно, есть контрпример с логнормальным.

Второе. Видимо, я просто где-то увидел, что, мол, для неограниченных функций однозначного решения точно нет (даже пример видел, где у двух неограниченных плотностей совпадают все моменты), но ограниченность, как понимаю, -- только необходимое условие.

[Евгений Машеров]

А как-то сузить множество распределений? Чтобы в нём была такая однозначная связь?

[Gickle]

Евгений Машеров
Не совсем понимаю, что именно Вы здесь подразумеваете под "сузить множество". Имеется в виду опять же умерить амбиции, рассмотреть какие-то конкретные семейства распределений и получать результат для каждого конкретного семейства? Или же понималось положить какие-то ограничения на плотность распределения и/или моменты (скажем, ограниченность, аналитичность, какие-то более специфические условия), чтобы "всё работало"? Если второе, то я просто не совсем в курсе, что именно нужно потребовать для плотности распределения/моментов, чтобы однозначная связь между последними и плотностью существовала. И подавно не в курсе (и тут, видимо, не только я, но и математика в целом), при каких условиях эта связь ещё и какую-то красивую и удобную для работы форму принимает. Но, повторюсь, если для какого-то более узкого множества распределений эта однозначная связь имеется и имеет вид какой-то формулы, то мне это тоже было бы очнь интересно.

[Евгений Машеров]

Ограничения, которые бы обеспечили однозначность производных по моментам, я сформулировать не могу. И имел в виду что-то более простое. Задаться семейством распределений, для которых есть аналитическое выражение (опять же, в порядке безответственного совета - распределения Пирсона) и приближать лишь ими. Ну, или какое-то разложение, наподобие уже упомянутого Грама-Шарлье.