Имеется интеграл такого вида:

Здесь

-- ограниченная плотность вероятности, убывающая на бесконечностях достаточно быстро для любых нужд. Обозначим, кроме того,

Вопрос: есть ли возможность выразить

через

и моменты

? Ну, скажем, в виде какого-то ряда. Я понимаю, что вряд ли какое-то вменяемое выражение можно получить без конкретизации плотности вероятности, но мало ли...
Почему я вообще предполагаю, что такое возможно? Насколько я знаю, плотности вероятности, описываемые ограниченными функциями, однозначно определены их моментами. Тогда, предполагая для простоты, что

является ещё и аналитической (если это нужно -- не проблема), её можно разложить в ряд Тейлора,

Если бы мы могли выразить

через моменты распределения, то задача была бы закрыта. Как понимаю, теоретически такое должно быть возможно, поскольку и ряд Тейлора, и моменты распределения определяют аналитическую, ограниченную плотность распределения единственным образом. Но на практике, видимо, фиг их свяжешь.
Ещё я прочитал про Gram–Charlier A series/Edgeworth series. Как я понял, если

спадает на бесконечностях быстрее

, то она представима в виде следующего сходящегося ряда:

где

-- кумулянты распределения,

,

,

-- плотность вероятности

, а

и

-- (математические) полиномы Эрмита и Белла соответственно. Ну и идея, насколько я это понимаю, заключается в том, что

приближается вот этим рядом с нормальным распределением в качестве затравки (в теории можно выбрать и другую затравку, конечно, но тогда нет гарантии, что получится какое-то красивое выражение).
Если теперь взять производную дважды, подставить в

и немного причесать, то всё было бы вообще замечательно (в конце концов,
![$E[P(X)]$ $E[P(X)]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/a/80a224dbe08a96907dc9c0281157bbd882.png)
вычисляется элементарно), если бы не

. Можно, конечно, разложить

в ряд Тейлора и получить двойной ряд, формально отвечающий желаемому, но это уж совсем некрасиво/непрактично. Может, есть всё-таки какое-то достаточно элегантное решение? Или его нет и быть не может?