Две задачи функан (базис Гамеля и аксиома выбора)

[artempalkin]

Смотрю сейчас лекции Хелемского по функану. Он предлагает там время от времени задачи студентам, и вот две похожие задачи:

1) Доказать, что если пространство бесконечномерно, то количество ограниченных операторов строго меньше, чем линейных (он считает ограниченный оператор по умолчанию линейным, это, видимо, всегда так по определению?)

2) Доказать, что в линейной пространстве линейный функционал, действующий на некотором подпространстве, можно продлить до некоторого функционала на всем пространстве.

3) В обоих случаях он говорит прямо, что нужно воспользоваться тем, что любая независимая система в ЛП дополняется до базиса Гамеля, то есть до такого базиса, что любой элемент ЛП допускает по этому базису конечное разложение

Я пока что гораздо больше привык работать с конечномерными пространствами и даже не совсем понимаю, как доказать (3) через аксиому выбора. То есть в конечномерном пространстве это работает:

Возьмем независимую систему и ее дополнение до всего пр-ва. Выберем из дополнения любой ненулевой вектор и добавим в нашу систему. Будем делать так, пока процесс не закончится. На руках у нас базис.

В случае с бесконечномерным пространством так можно получить разве что счетную систему, а кроме того откуда я знаю, что любой элемент будет разложим по ней? Видимо, я не до конца понимаю, что такое базис Гамеля в бесконечномерном случае. Подскажите, пожалуйста!

[Padawan]

artempalkin в сообщении #1545725 писал(а):

В случае с бесконечномерным пространством так можно получить разве что счетную систему

Можно продолжить дальше. Но для этого надо знать про ординалы и трансфинитную индукцию. Сейчас это обычно оформляют при помощи леммы Цорна. Рассмотрите множество всех линейно независимых систем, содержащих данную линейно независимую систему векторов. Эти системы индуктивно упорядочены по включению. Значит, есть максимальная линейно независимая система векторов. Она и будет базисом.

[artempalkin]

Padawan в сообщении #1545733 писал(а):

Можно продолжить дальше. Но для этого надо знать про ординалы
и трансфинитную индукцию.

Да, для меня пока это не слишком доступно.

Padawan в сообщении #1545733 писал(а):

Рассмотрите множество всех линейно независимых систем, содержащих данную линейно независимую систему векторов. Эти системы индуктивно упорядочены по включению. Значит, есть максимальная линейно независимая система векторов. Она и будет базисом.

Спасибо! В целом это более-менее понятно (но мне нужно посмотреть док-во леммы Цорна для ясности), но откуда следует, что по этой самой большой системе каждый элемент ЛП будет раскладываться конечным образом?

Или, вероятно, это следует из определения "линейно зависимая бесконечная система - это система, в которой любая конечная подсистема линейно зависима", правильно я понимаю?

-- 10.01.2022, 14:35 --

Это я глупость написал, кстати

-- 10.01.2022, 14:38 --

Линейно независимая бесконечная система векторов - это система в которой любая конечная подсистема линейно независима.

Это означает, что

линейно зависимая бесконечная система векторов - это система, в которой существует конечная зависимая подсистема.

Возьмем максимальную систему, которую мы нашли. Она ЛНЗ и максимальна в этом смысле. Добавим в нее любой вектор, она станет ЛЗ. Это означает, что в ней есть зависимая подсистема. Но что это за подсистема? Это не может быть подсистема из "старых" векторов, т.к. все они ЛНЗ. Значит, это некоторая подсистема, содержащая новый вектор. А это значит, что он линейно выражается через некоторые вектора нашей максимальной системы

-- 10.01.2022, 15:11 --

1) в таком случае, если у нас есть на руках базис Гамеля (Хелемский, кстати, называет его базисом Хамеля), выделим из него счетную систему ЛНЗ векторов. Орт каждого из них лежит в единичном шаре. Пусть наш оператор действует на каждый из них $Ax_n=n\cdot x_n$, а остальные вектора базиса отправляет в $0$. Такой оператор, очевидно, будет линейным, но не будет ограниченным, потому что образ единичного шара неограничен.

2) Пусть некоторый линейный функционал $f_0$ определен на подпространстве $E_0$ пространства $E$. Дополним базис этого подпр-ва до базиса Гамеля всего пространства $E$. Определим функционал $f$ на всем базисе Гамеля пр-ва $E$ таким образом: $f(x)=f_0(x)$, если $x\in E_0$ и $f(x)=\theta$ иначе. Такой функционал будет линейным, а его сужение на $E_0$ будет функционал $f_0$.

Правильно я мыслю?

[Padawan]

Верно