Показатель Ляпунова для гармонического осциллятора

[reterty]

Рассмотрим простейший возможный случай - случай гармонического осциллятора: $x=A\cos(\omega t)$ и попытаемся аналитически получить показатель Ляпунова $\lambda$. По определению $\delta x(t)=\delta x_0 e^{\lambda t}$. Варьируем начальные условия путем изменения начальной фазы на $\delta \varphi_0$. Тогда вариация $\delta x_0 =A\sin (\delta\varphi_0)$; вариация же $\delta x(t)=A\sin (\omega t) \sin (\delta \varphi_0)$. Отсюда заключаем, что $\lambda =i \omega$ (????) , хотя ляпуновский показатель должен быть отрицателен (колебание строго периодическое) и равен $-\omega$....

[Markus228]

reterty в сообщении #1545542 писал(а):

Отсюда заключаем, что $\lambda =i \omega$ (????) , хотя ляпуновский показатель должен быть отрицателен (колебание строго периодическое) и равен $-\omega$....

Ну да, затухания же не будет. Будут вечные колебания с малой амплитудой

[reterty]

Прошу прощения, наврал. Для периодических консервативных колебаний показатель Ляпунова должен быть равен нулю, а у меня он мнимый(((..

[Markus228]

reterty
Почему должен?:

[reterty]

Markus228 в сообщении #1545612 писал(а):

reterty
Почему должен?:

Да вот, хотя бы здесь, утверждают что должен : http://ckw.phys.ncku.edu.tw/public/pub/ ... os/43.html
Позволю себе выдержку из этого источника: "$\lambda=0$--The orbit is a neutral fixed point (or an eventually fixed point). A Lyapunov exponent of zero indicates that the system is in some sort of steady state mode. A physical system with this exponent is conservative. Such systems exhibit Lyapunov stability. Take the case of two identical simple harmonic oscillators with different amplitudes. Because the frequency is independent of the amplitude, a phase portrait of the two oscillators would be a pair of concentric circles. The orbits in this situation would maintain a constant separation, like two flecks of dust fixed in place on a rotating record."

[Red_Herring]

reterty
Вы используете два разных определения показателя Ляпунова; во втором случае берется вещественная часть

[reterty]

Red_Herring в сообщении #1545645 писал(а):

reterty
Вы используете два разных определения показателя Ляпунова; во втором случае берется вещественная часть

У меня появилось сомнение относительно правильности нахождения полной вариации в начальный и произвольный моменты времени. Ведь начальные условия описывются как начальной фазой так и амплитудой. Следовательно, полная вариация функции должна содержать вариации этих обоих аргументов...