олимпиадное тригонометрическое тождество

[novichok2018]

интересная задача. Подождите ещё дня три.

[RIP]

Рассмотрим сумму Гаусса

$$ \mathrm{i}\sqrt{7} =\sum_{x=0}^{6}\exp\left(\frac{2\pi\mathrm{i}x^2}{7}\right) =1+2\sum_{x=1}^{3}\exp\left(\frac{2\pi\mathrm{i}x^2}{7}\right). $$

Домножим на $\exp\left(\frac{\pi\mathrm{i}}{5}\right)$ и рассмотрим вещественную часть:

$$ -\sqrt{7}\sin\frac{\pi}{5}=\cos\frac{\pi}{5}+2\sum_{x=1}^{3}\cos\left(\frac{2\pi x^2}{7}+\frac{\pi}{5}\right). $$

После упрощений получим требуемое равенство.
P.S. Понятно, что $\frac{\pi}{5}$ можно заменить любым углом, то есть

$$-\cos\left(\alpha+\frac{2\pi}{7}\right)-\cos\left(\alpha+\frac{4\pi}{7}\right)-\cos\left(\alpha+\frac{8\pi}{7}\right) =\frac{1}{2}\cos\alpha+\frac{\sqrt{7}}{2}\sin\alpha.$$

[novichok2018]

А если исходное тождество попробовать на что-то умножить чисто по школьному, например, на $\cos(\pi/5)$, или подобное?

[novichok2018]

TOTAL - почему сумма 7ми косинусов выше равна нулю? Это как-то геометрически через векторы в многоугольнике? Поясните, пожалуйста, для менее подготовленных.

[TOTAL]

novichok2018 в сообщении #1545404 писал(а):

почему сумма 7ми косинусов выше равна нулю?

$$\cos \frac{4\pi}{35} + \cos \frac{6\pi}{35} + \cos \frac{14\pi}{35}+\cos \frac{16\pi}{35} + \cos \frac{24\pi}{35} + \cos \frac{26\pi}{35}+ \cos \frac{34\pi}{35}=0$$

Потому, что косинус - функция четная и периодическая, т.е.

$$\cos \frac{6\pi}{35}= \cos \frac{-6\pi}{35}= \cos \frac{64\pi}{35}, \;\;\; \cos \frac{16\pi}{35}= \cos \frac{-16\pi}{35}= \cos \frac{54\pi}{35}, \;\;\; \cos \frac{26\pi}{35}= \cos \frac{-26\pi}{35}= \cos \frac{44\pi}{35}$$

Теперь узнаёте правильный семиуголник?

[novichok2018]

Теперь узнал. Спасибо!

[zykov]

В каком-то виде задачу решили.
Напишу решение, которое имелось ввиду, доступное школьнику.

Шаг 1: отделить углы кратные $\frac{\pi}{5}$ и кратные $\frac{\pi}{7}$.
Преобразуем дроби $\frac{8}{35}=\frac37-\frac15$, $\frac{12}{35}=\frac17+\frac15$ и $\frac{18}{35}=\frac57-\frac15$.
Можно просто подобрать, учитывая малость величин.
Можно по теории Диофантовых уравнений найти.

(Оффтоп)

Сначала решим $1=5p+7q$.
По модулю $5$ будет $7q \equiv 2q \equiv 1$.
По малой теореме Ферма будет $2^4 = 2\cdot 2^3 = 16 \equiv 1$. Значит $2^3=8 \equiv 3 \equiv 2^{-1}$, т.е. $2 \cdot 3 = 6 \equiv 1$. Значит $q=3$.
Тогда $p=\frac{1 - 3\cdot 7}{5}=-4$. Получаем $1=-4 \cdot 5 + 3 \cdot 7$.

Отсюда получаем:
$8=-8\cdot 4 \cdot 5 + 8 \cdot 3 \cdot 7=-32 \cdot 5 + 24 \cdot 7 = 3 \cdot 5 - 1 \cdot 7$
$12=-12\cdot 4 \cdot 5 + 12 \cdot 3 \cdot 7=-48 \cdot 5 + 36 \cdot 7 = 1 \cdot 5 + 1 \cdot 7$
$18=-18\cdot 4 \cdot 5 + 18 \cdot 3 \cdot 7=-72 \cdot 5 + 54 \cdot 7 = 5 \cdot 5 - 1 \cdot 7$
(Здесь мы уменьшали величину коэффициентов добавляя решение однородного уравнения $0=5p_0+7q_0$.)

Далее, разложим косинусы в левой части как суммы/разности косинусов.
Получим:

$$\cos\frac{8\pi}{35}+\cos\frac{12\pi}{35}+\cos\frac{18\pi}{35} = (\cos\frac{5\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{\pi}{7})\cos\frac{\pi}{5} + (\sin\frac{5\pi}{7}+\sin\frac{3\pi}{7}-\sin\frac{\pi}{7})\sin\frac{\pi}{5}$$

Осталось показать, что
$\cos\frac{5\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{\pi}{7} = \frac12$
$\sin\frac{5\pi}{7}+\sin\frac{3\pi}{7}-\sin\frac{\pi}{7} = \frac{\sqrt 7}{2}$

Отсюда кстати сразу видно, что угол $\frac{\pi}{5}$ особой роли не играет. Мог бы быть любой угол $\alpha$. Но в таком виде решение было бы почти очевидно.
Чтобы завуалировать решение, угол $\alpha$ должен быть дробью от $\pi$.

С одной стороны правая часть в таком виде намекает на решение, на то что надо отделить углы. Если бы дали только левую часть и попросили представить её в радикалах, то было бы немного сложнее. С другой стороны эта правая часть может вводить в заблуждение - можно было бы подумать, что сначала её надо выразить в радикалах и тогда будет проще. Но как видно, это была бы лишняя работа, т.к. угол $\frac{\pi}{5}$ тут роли не играет.

Шаг 2: показать что сумма косинусов равна $\frac12$.
Вобщем это известная вещь. Продвинутый школьник должен был бы знать.
Возьмём 7 единичных векторов равномерно распределённых по направлениям. (Вообще тут можно взять любое нечётное количество.)
А именно, вектора с углами $\frac{\pi}{7}, \, \frac{3\pi}{7}, \, \frac{5\pi}{7}, \, \frac{7\pi}{7}, \, \frac{9\pi}{7}, \, \frac{11\pi}{7}, \, \frac{13\pi}{7}$.
Сумма этих векторов равна нулевому вектору, что очевидно из симметрии при повороте на угол $\frac{2\pi}{7}$. Кроме того эта система векторов симметрична относительно оси $X$.
Отсюда сразу получаем $-1+2\left(\cos\frac{5\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{\pi}{7}\right)=0$.

Аналогично для 3 векторов можно получить $\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$.
Для 5 векторов можно получить $\cos\frac{3\pi}{5}+\cos\frac{\pi}{5}=\frac12$. Здесь, если использовать $\cos\frac{3\pi}{5}=-\cos\frac{2\pi}{5}$ и использовать формулу косинуса двойного угла, то можно получить квадратное уравнение для $\cos\frac{\pi}{5}$.
Для 9 векторов можно получить $\cos\frac{7\pi}{9}+\cos\frac{5\pi}{9}+\cos\frac{3\pi}{9}+\cos\frac{\pi}{9}=\frac12$. Т.е. $\cos\frac{7\pi}{9}+\cos\frac{5\pi}{9}+\cos\frac{\pi}{9}=0$ или $\cos\frac{4\pi}{9}+\cos\frac{2\pi}{9}=\cos\frac{\pi}{9}$. (Последнее можно школьнику подкинуть, чтобы порешал.)

Шаг 3: показать что сумма синусов равна $\frac{\sqrt 7}{2}$.
В принципе тут можно тригонометрически это вывести из результата для суммы косинусов.
Но на мой взгляд прозрачнее это сделать с помощью векторов.
Перепишем сумму косинусов и сумму синусов вот так:
$\cos\frac{5\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{\pi}{7} = $\cos\frac{5\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{-\pi}{7}$
$\sin\frac{5\pi}{7}+\sin\frac{3\pi}{7}-\sin\frac{\pi}{7} = \sin\frac{5\pi}{7}+\sin\frac{3\pi}{7}+\sin\frac{-\pi}{7}$
Отсюда видно, что сумма косинусов и сумма синусов - это компоненты вектора полученного суммированием трёх единичных векторов $\vec a, \, \vec b, \, \vec c$ с углами $-\frac{\pi}{7}, \, \frac{3\pi}{7}, \, \frac{5\pi}{7}$.
Пусть $\vec s=\vec a+\vec b+\vec c$. Найдём квадрат модуля этого суммарного вектора:

$$|\vec s|^2=(\vec s, \vec s)=3+2\left((\vec a, \vec b)+(\vec a, \vec c)+(\vec b, \vec c)\right)=3+2\left(\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}+\cos\frac{2\pi}{7}\right)=$$ $$=3-2\left(\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{\pi}{7}+\cos\frac{5\pi}{7}\right)=3-2\cdot\frac12=2$$

Значит сумма синусов (очевидно, что она больше нуля) равна $\sqrt{2-\left(\frac12\right)^2}=\frac{\sqrt 7}{2}$.

[zykov]

zykov в сообщении #1545611 писал(а):

как суммы/разности косинусов

"как косинусы суммы/разности"