Самый полный справочник интегралов wanted

[_hum_]

Раньше думал, что Wolfram Mathematica /Mapple обладают самым полным набором берущихся интегралов, а оказалось, что нет.
Потому хотелось бы узнать о других источниках.
Например, хотелось бы узнать, берется ли $\int_0^\infty \text{erfc}\left(-\frac{t}{2}\right) e^{-\frac{1}{4} (t+a)^2} \, dt, a>0.$

[Otta]

(Уже совсем ночь и не думается. Однако берущиеся интегралы - это про неопределенные. Этот-то несобственный. Число. В данном случае, зависящее от $a$. Что же имелось в виду? Что-то типа Гольдштейна-Рыжика?)

[ИСН]

Градштейна! И у программ - не набор, а метод. Справочники устарели. И да, ваша задача не о том.

[_hum_]

Otta
в данном случае под "берущимся" понимается "сводящийся к алгебраическим вычислениям со стандартными математическими функциями" (А нужно это для того, чтобы потом иметь возможность проводить анализ зависимости интеграла от того же параметра $a$).

-- Чт янв 06, 2022 00:11:44 --

ИСН
Мне нужно что-то типа справочника Korotkov - TABLE OF INTEGRALS RELATED TO ERROR FUNCTION, но более полный (в текущем я не смог найти подходящий мне случай - :( )

[ИСН]

Берущесть определённых интегралов - совсем другой вопрос, чем неопределённых. На него не может быть справочников.

Upd. На отдельную узкую область вроде такой - ну ладно, может, но они всё равно неполны и не будут полны.

[Otta]

ИСН в сообщении #1545256 писал(а):

Градштейна!

Прошу прощения, виноват.

-- 06.01.2022, 01:44 --

_hum_ в сообщении #1545257 писал(а):

в данном случае под "берущимся" понимается "сводящийся к алгебраическим вычислениям со стандартными математическими функциями"

Знаете, я чего-то такого и ожидала, видимо. И потому у меня первым делом по ассоциации вспомнилась очень красивая тема. «Элементарный результат для определённого интеграла». Оцените. И как заранее знать, что сведется, а что не сведется? Это же явно специфика уникальных значений.

А без вычисления нельзя проводить анализ зависимости от $a$? Ведь очень часто можно.

(Оффтоп)

Этот-то, может, и считается, просто правда поздно уже.

[Евгений Машеров]

0. Как-то наивно ожидать выражения в элементарных функциях для интеграла от функции, невыразимой в элементарных функциях. Хотя, конечно, чудеса случаются.
1. Можно, наверно, посчитать интеграл методами ТФКП. Нарисовать контур интегрирования, найти особые точки...
2. Или можно одну из функций разложить в ряд. И надеяться, что он будет сходиться.
Скажем, разлагать erfc. Но вот разложение в ряд Тейлора
$\operatorname {erf}\,x={\frac {2}{{\sqrt {\pi }}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{{2n+1}}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{{\sqrt {\pi }}}}\left(x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9}}{216}}-\ \cdots \right)$
не годится для больших x, а асимптотическое
${\displaystyle \operatorname {erfc} \,x={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n}}}\right]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}}$
для малых.
Для Тейлора интегралы от членов ряда, умноженных на экспоненту, можно попытаться выразить через моменты (наверно, абсолютные моменты) нормального распределения, получить ряд - и молиться, чтобы он сходился.

[nnosipov]

Otta в сообщении #1545260 писал(а):

вспомнилась очень красивая тема

Да, действительно. Кстати, тамошнее $a$ можно упростить, на самом деле $a \in \mathbb{Q}(\sqrt[4]{12})$, т.е. можно обойтись обычными (не вложенными) радикалами.

[novichok2018]

В ряд можно экспоненту разложить.

-- 06.01.2022, 12:27 --

Вроде в процитированном Короткове на стр. 141 есть этот интеграл, или нет?

[zykov]

Выглядит как свёртка. Значит Фурье-образы перемножаются.

[novichok2018]

Фурье - это на оси.

[zykov]

Получится свёртка от аргумента $-a$ функций $f(t)=\text{erfc}(-\frac{t}{2})$ (при $t \geq 0$ и равной нулю при $t<0$) и $g(t)=e^{-\frac{t^2}{4}}$.
Первая функция похожа на "ступеньку" (ноль ниже нуля, один выше нуля), значит и результат будет похож на свёртку второй функции со ступенькой, что само равно $\text{erfc}$.

[novichok2018]

Ещё раз - в цитированной книге Короткова есть нужный интеграл на указанной выше странице, или нет?

[_hum_]

ИСН в сообщении #1545259 писал(а):

Upd. На отдельную узкую область вроде такой - ну ладно, может, но они всё равно неполны и не будут полны.

Я ищу самый полный на текущий момент :)

Otta в сообщении #1545260 писал(а):

А без вычисления нельзя проводить анализ зависимости от $a$? Ведь очень часто можно.

Это дополнительные ненужные накладные расходы (у меня исследование не чисто математическое, а прикладное, потому доп. выкладки чистого анализа затруднят все дело).

Евгений Машеров в сообщении #1545276 писал(а):

0. Как-то наивно ожидать выражения в элементарных функциях для интеграла от функции, невыразимой в элементарных функциях. Хотя, конечно, чудеса случаются.

Я не говорил в элементарных, я просил в стандартных - тех, что на данным момент хорошо изучены по свойствам.
Все остальные предложения по разложениям в ряд - это усугубление ситуации - работа с рядами - тот еще подарок.

novichok2018 в сообщении #1545294 писал(а):

Вроде в процитированном Короткове на стр. 141 есть этот интеграл, или нет?

Похоже на то :) Спасибо, не заметил.
Но в общем-то, хотелось бы найти источник, по которому можно было бы и для других имеющихся у меня интегралов проверить, какие из них можно "взять" :)

[Евгений Машеров]

zykov в сообщении #1545297 писал(а):

Выглядит как свёртка
. Значит Фурье-образы перемножаются.

Как-то для меня на свёртку непохоже. Можно пояснить Ваше видение?