Вероятность нечетного количества успехов

[artempalkin]

К некоторому своему удивлению никогда раньше не встречался с подобной задачей, хотя она кажется прямо (стандартной учебной? забыл слово)

Пусть проводится $n$ независимых испытаний с вероятностью успеха в каждом $p$. Какова вероятность, что успехов будет нечетное число?

Общую формулу составить несложно:

$$P=\sum\limits_{k\leqslant n;k - odd}C_n^kp^kq^{n-k}$$

Это как бы и есть ответ, но как его записать в более красивом виде? Какое-то время я даже и не понимал, но потом понял, что это нечетные слагаемые бинома, и чтобы их получить достаточно просто:

$$P=\frac 12\left[(p+q)^n-(q-p)^n\right]=\frac {1-(1-2p)^n}2$$

В этом ответе есть интересная симметрия. Если изначально вместо $p$ вероятностью успеха считать $\frac {1-p}2$ (а так и было написано в условии изначально), то искомая

$$P=\frac {1-p^n}2$$

Нельзя сказать, что вычисления какие-то очень сложные (но все же я не сразу врубился, как складывать нечетные слагаемые в биноме, потратил время на задачу), но все же не совсем очевидные, и ответ неожиданно компактный. И у меня закралось сомнение: нельзя ли его получить из каких-то более простых соображений?

-- 04.01.2022, 22:39 --

Интересно, что, зная ответ, можно доказать его по индукции. В самом деле, для 1-го испытания $\frac {1-p}2$ является частным случаем общей формулы (нечетное число успехов в случае одного испытания - это один-единственный успех). Если же верно для $n-1$ испытания, то вероятность нечетного числа успехов в $n$ испытаниях будет

$$P_n=P_1\cdot (1-P_{n-1})+(1-P_1)\cdot P_{n-1}=\frac {1-p^n}2$$

Однако же, как обычно, ММИ не дает самой формулы...

[svv]

Пусть вероятности чётного и нёчетного числа успехов в $n$ испытаниях равны соответственно $Q_n$ и $P_n$. Тогда
$\begin{array}{l}Q_n=qQ_{n-1}+pP_{n-1}\\P_n=pQ_{n-1}+qP_{n-1}\end{array}$
Вычитая, получим
$Q_n-P_n=(q-p)(Q_{n-1}-P_{n-1}),$
что с учётом $Q_1-P_1=q-p$ даёт $Q_n-P_n=(q-p)^n$. С другой стороны, $Q_n+P_n=1$.

[artempalkin]

svv
Да, это гениально! Так и надо было решать.