Линейное отображение, связанное с тетраэдром

[EminentVictorians]

Всех с наступающим праздником!

У меня возникли небольшие непонятки с одним примером из Винберга.

Винберг, Курс алгебры, стр.202, пример 8 писал(а):

Пример 8.Пусть $X$ — множество ребер тетраэдра и $Y$ — множе­ство его граней. Каждой функции $f$ на $X$ со значениями в поле $K$ по­ставим в соответствие функцию $g$ на $Y$, определяемую следующим образом:

$$g(y) = \sum\limits_{x \subset y}f(x)$$

т.е. значение функции $g$ на какой-либо грани равно сумме значений функции $f$ на сторонах этой грани. Этим определяется линейное отображение

$$\varphi:F(X, K) \to F(Y, K)$$

(см. пример 1.6.2). Докажем, что если $char K \ne 2$, то оно сюръектив­но. [...]

Я доказывал следующим образом.

Любая функция из $F(X, K)$ по сути задает веса ребер тетраэдра, а функция из $F(Y, K)$ - веса граней, соответствующие весам ребер от некоторой функции из $F(X, K)$. Берем произвольную функцию $\omega \in F(Y, K)$. Надо доказать, что существует $f \in F(X, K)$ такая, что $\varphi (f) = \omega$. Другими словами, надо доказать, что для любой расстановки весов граней существует расстановка весов ребер такая, что эта расстановка весов ребер даст выбранную расстановку весов граней. У тетраэдра 4 грани, поэтому выберем произвольные 4 числа из поля $K$: $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\lambda_3$, $\lambda_4$. Далее обозначим через $x_1, ... ,x_6$ ребра тетраэдра (у меня ребра идут в таком порядке: переднее, левое, нижнее левое, нижнее правое, правое, дальнее). Задача подбора весов ребер, соответствующих заданным весам $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\lambda_3$, $\lambda_4$ граней - это по сути задача решения следующей СЛАУ:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 1x_1 + 1x_2 + 1x_3 + 0x_4 + 0x_5 + 0x_6 = \lambda_1 \\ 1x_1 + 0x_2 + 0x_3 + 1x_4 + 1x_5 + 0x_6 = \lambda_2\\ 0x_1 + 1x_2 + 0x_3 + 0x_4 + 1x_5 + 1x_6 = \lambda_3 \\ 0x_1 + 0x_2 + 1x_3 + 1x_4 + 0x_5 + 1x_6 = \lambda_4\\ \end{array} \right.$$

Я привел эту СЛАУ к ступенчатой форме, получилась совместная СЛАУ, все в порядке. Тем самым теорема доказана.

Вопрос в том, что я нигде не использовал ограничения на характеристику: у меня она произвольная, а не $\ne 2$. Проходит ли мое доказательство?

[iifat]

Попытался прикинуть ступенчатую форму, где-то должно вылезти $1+1$. Чему оно, по-вашему, равно?

[EminentVictorians]

iifat в сообщении #1544794 писал(а):

Попытался прикинуть ступенчатую форму, где-то должно вылезти $1+1$. Чему оно, по-вашему, равно?

Ну я уж не настолько праздную тут у себя, чтобы забыть про это)) Приведите ее к ступенчатой форме, там 4 ненулевых строки будут, несмотря на двойки. Единица и минус единица точно ненулевые.

[nnosipov]

EminentVictorians в сообщении #1544792 писал(а):

Проходит ли мое доказательство?

Мне кажется, Вы ошиблись в вычислениях. Потому что над полем характеристики 2 матрица системы имеет ранг не более 3 (сумма всех строчек равна нулевой строке).

[EminentVictorians]

nnosipov в сообщении #1544811 писал(а):

Мне кажется, Вы ошиблись в вычислениях.

Да.. Так и есть. 1 и 0 перепутал, хотя 3 раза выкладки проверял. Надо было на компьютере проверить.

В итоге получилась матрица коэффициентов с нулями и тремя двойками в последней строке. Ну, в любом случае, для $char K \ne 2$ мое доказательство проходит.