Тождество Абеля

[Verkhovtsev]

Доказать тождество

$$2(n-1)n^{n-2} = \sum_{\substack{k,m \ge 1 \\ k+m=n}} \binom{n}{k}k^{k-1}m^{m-1}.$$

При $n=7$ тождество принимает весьма любопытный вид

$$ \begin{array}{l} 2 \cdot 6 \cdot 7^{5}= 7 \cdot 1^{0} \cdot 6^{5}+21 \cdot 2^{1} \cdot 5^{4}+35 \cdot 3^{2} \cdot 4^{3}+35 \cdot 4^{3} \cdot 3^{2}+21 \cdot 5^{4} \cdot 2^{1}+7 \cdot 6^{5} \cdot 1^{0}. \end{array} $$

-- 28.12.2021, 16:12 --

Если дискретное тождество покажется скучным, то вот непрерывный родственник этого тождества:

$$ \begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} J_{0}(b x) \mathrm{d} x = \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-b^{2} / 8} I_{0}\left(b^{2} / 8\right), \end{aligned} $$

здесь $J_0, I_0 -$ стандартные обозначения для функции и модифицированной функции Бесселя нулевого рода.

Бесплатная версия Вольфрама вычислить интеграл слева не может или не хочет.

[Farest2]

"Непрерывного родственника" Mathematica 8 взяла без проблем. Если хочется взять руками, то перейти к интегралу по всей оси (функция Бесселя чётна), использовать интегральное представление

$$ J_0(bx)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \exp(ibx\cos t)\,dt $$

и поменять интегралы местами.

-- Вт дек 28, 2021 11:34:51 --

Дискретное равенство лучше в более общей форме рассматривать (больше возможностей для манёвра):

$$ (x+y)(x+y+na)^{n-1}=xy\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(x+ka)^{k-1}(y+(n-k)a)^{n-k-1}. $$

Ну и примеров настрогать можно больше. :)

[kotenok gav]

По идее, просто надо раскрыть вложенные степени (ну, биномом Ньютона), и тогда тождество тривиальн докажется.

[maxal]

Verkhovtsev в сообщении #1544531 писал(а):

Доказать тождество

$$2(n-1)n^{n-2} = \sum_{\substack{k,m \ge 1 \\ k+m=n}} \binom{n}{k}k^{k-1}m^{m-1}.$$

Имеем:

$$\sum_{k\geq 1} k^{k-1}\frac{x^k}{k!} = -W(-x),$$

где $W$ - функция Ламберта. Отсюда правая часть доказуемого тождества есть коэффициент при $\frac{x^n}{n!}$ в

$$W(-x)^2 = \sum_{n\geq 2} 2(n-1)n^{n-2} \frac{x^n}{n!}.$$

Последняя формула доказывается, например, через теорему Лагранжа об обращение рядов.