Найти действие для осциллятора

[kzv]

Задача из Фейнмана:
Лагранжиан гармонического осциллятора $L=\frac{m}{2}(\dot{x}^2-\omega^2x^2)$. Покажите, что классическое действие:
$S=\frac{m\omega}{2\sin{\omega(t_b-t_a)}}(x^2_a+x^2_b)\cos{\omega(t_b-t_a)}-2x_ax_b$

Пробую решить, получается ерунда какая-то:
Используя решение для траектории гармонического осциллятора
$x^2=x^2_0\cos^2{\omega t}$
$\dot{x}^2=x^2_0\omega^2\sin^2{\omega t}$
Подставляю в определение действия:
$S=\int\limits_{t_a}^{t_b}Ldt=\frac{m}{2}\int\limits_{t_a}^{t_b}{(x^2_0\omega^2\sin^2{\omega t}-\omega^2x^2_0\cos^2{\omega t})dt}=\frac{m}{2}\omega^2x^2_0\int\limits_{t_a}^{t_b}{-\cos{2\omega t}dt}=-\frac{m}{4}\omega x^2_0\sin{2\omega t}\rvert^{t_b}_{t_a}=\frac{m}{2}(-x_0\omega \sin{\omega t}) (x_0\cos{\omega t})\rvert^{t_b}_{t_a}=\frac{m}{2}\dot{x} x\rvert^{t_b}_{t_a}=\frac{m}{2}\frac{(x_b-x_a)^2}{t_b-t_a}$

Получился такой же ответ как в первой задаче (действие для свободной частицы). Где я ошибся?

-- 26.12.2021, 18:25 --

Последнее равенство ошибочно. Но до него вроде все верно:
$S=\frac{m}{2}\dot{x} x\rvert^{t_b}_{t_a}$

Как это подогнать к ответу?

[amon]

kzv в сообщении #1544341 писал(а):

Как это подогнать к ответу?

Кто такие $x_a$ и $x_b$ и как их вставить в Ваше

kzv в сообщении #1544341 писал(а):

Используя решение для траектории гармонического осциллятора
$x^2=x^2_0\cos^2{\omega t}$
$\dot{x}^2=x^2_0\omega^2\sin^2{\omega t}$?

[kzv]

kzv в сообщении #1544341 писал(а):

Кто такие $x_a$ и $x_b$ и как их вставить в Ваше

Я точно не знаю. Задачу и ответ сформулировал дословно из Фейнмана "Квантовая механика и интегралы по траекториям", стр.40., зад. 2.2
Судя по контексту $x_a=x(t_a)$; $x_b=x(t_b)$



Вообще, в ответе у Фейнмана, вроде бы бардак с размерностями какой-то?

[amon]

kzv в сообщении #1544360 писал(а):

Судя по контексту $x_a=x(t_a)$; $x_b=x(t_b)$

А у Вас для написанной Вами траектории это выполняется?

[kzv]

amon в сообщении #1544363 писал(а):

А у Вас для написанной Вами траектории это выполняется?

$S=\frac{m}{2}\dot{x} x\rvert^{t_b}_{t_a}=\frac{m}{2}(\dot{x_b}x_b-\dot{x_a}x_a)=-\frac{mx_0\omega}{2}(x_b\sin{\omega t_b}-x_a\sin{\omega t_a})$

$x_a=x_0\cos{\omega t_a}$

$x_0=\frac{x_a}{\cos{\omega t_a}}=\frac{x_b}{\cos{\omega t_b}}$

$S=-\frac{mx_a\omega}{2\cos{\omega t_a}}(x_b\sin{\omega t_b}-x_a\sin{\omega t_a})$

Ну, в принципе, что-то отдаленно похожее получается конечно. Если косинус на синус поменять в траектории, то минуса не будет:

$S=\frac{mx_a\omega}{2\sin{\omega t_a}}(x_b\cos{\omega t_b}-x_a\cos{\omega t_a})=\frac{mx^2_a\omega}{2\sin{\omega t_a}}(\frac{x_b}{x_a}\cos{\omega t_b}-\cos{\omega t_a})$

[druggist]

kzv в сообщении #1544341 писал(а):

Используя решение для траектории гармонического осциллятора
$x^2=x^2_0\cos^2{\omega t}$

Решением для траектории является решение уравнения Эйлера-Лагранжа, то есть, надо проинтегрировать дифференциальное уравнение второго порядка, а у вас решение общего вида зависит только от одной константы $x_0$. Сравните с общим решением для траектории свободной частицы в первой задаче, которое можно легко записать как $x=vt +x_0$, Константа $v$ выражается через заданные величины как $v=\frac{x_b-x_a}{t_b-t_a} $ и мы легко получаем ответ.

[kzv]

druggist в сообщении #1544402 писал(а):

Решением для траектории является решение уравнения Эйлера-Лагранжа, то есть, надо проинтегрировать дифференциальное уравнение второго порядка, а у вас решение общего вида зависит только от одной константы $x_0$.

Не от константы, а от времени.
Решение уравнения движения ищется стандартной подстановкой: синуса, косинуса или экспоненты. Википедия врать не может.

[druggist]

kzv в сообщении #1544404 писал(а):

Решение уравнения движения ищется стандартной подстановкой: синуса

И зависит от двух констант: амплитуды $A$ и фазы $\varphi$

[kzv]

druggist в сообщении #1544407 писал(а):

И зависит от двух констант: амплитуды $A$ и фазы $\varphi$

Да, если учитывать фазу, то решение усложняется ((
Наверное тогда траекторию лучше в виде суммы подставить:
$x=a\cos{\omega t}+b\sin{\omega t}$

$S=\frac{m\omega^2ab}{2}\int\limits_{t_a}^{t_b}{\sin{2\omega t}}dt=\frac{m\omega a b}{4}\cos{2\omega(t_b-t_a)}$

Постоянные найти из системы уравнений:
$\left\{ \begin{array}{rcl} &x_a=a\cos{\omega t_a}+b\sin{\omega t_a}& \\ &x_b=a\cos{\omega t_b}+b\sin{\omega t_b}& \\ \end{array} \right.$

$b=\frac{x_b\cos\omega t_a-x_a\cos\omega t_b}{\sin\omega(t_b-t_a)}$
$a=\frac{x_a\sin\omega t_b-x_b\sin\omega t_a}{\sin\omega(t_b-t_a)}$

$ab=\frac{x^2_a+x^2_b-2x_ax_b(\cos^2\omega t_a+\sin^2\omega t_b)}{\sin^2\omega(t_b-t_a)}$

Ну и так далее...
В принципе понял свою ошибку. Вопрос по размерностям остался: у действия должно быть $[\frac{kgm^2}{s}]$, а в ответе второе слагаемое $[m^2]$. Явно ошибка же или опечатка?

[druggist]

kzv в сообщении #1544419 писал(а):

Явно ошибка же или опечатка?

По-видимому, в учебнике, все же, неправильно записан ответ. Интересно, если решить, каков будет правильный?

[amon]

kzv в сообщении #1544419 писал(а):

Явно ошибка же или опечатка?

Скобочки забыли поставить. Должно быть

$$S=\frac{m\omega}{2\sin{\omega(t_b-t_a)}}\left((x^2_a+x^2_b)\cos{\omega(t_b-t_a)}-2x_ax_b\right)$$

[svv]

В английском издании скобочки есть.