Уравнение Мещерского для реактивной силы. Верно ли?

[timofey+petrenko]

Добрый вечер!
Набрел на такую статью: https://zenodo.org/record/3596173#.YJ1ttV0o99B
В ней автор показывает, что некорректно писать реактивную силу в виде $F_{реакт} = - u \frac{dm}{dt} $ .
Логика такая:
Из закона сохранения импульса получаем:
$-u \frac{dm}{dt} = ma $
Но это не второй закон Ньютона!!!!!!
Так как $ ma $ - это выражение для силы только при постоянной массе!
А здесь $ m $ - переменная масса ракеты.
Следовательно, нельзя говорить, что выражение слева - это сила, действующая на ракету.
Любопытно, что уравнение Циолковского верное, поскольку там мы не говорим о реактивной силе, а лишь интегрируем это выражение: $-u \frac{dm }{dt} = ma $
Для реактивной силы, действующей на ракету, формула же куда сложнее.
Можно также по-другому:
Запишем изменение импульса в лабораторной системе для ракеты, используя уравнение Циолковского.
Оно не равно проинтегрированной по времени 'реактивной силе' из уравнения Мещерского.
Это указывает на то, что это никакая не реактивная сила:)
Более того, через некоторое время реальная реактивная сила обязательно начинает препятствовать движению!

Я с первого взгляда не вижу в статье ошибок. Автор, к тому же, довольно авторитетный физик, публикующийся в Phys. Rev. и преподающий в одном из нью-йоркских институтов.

[zykov]

timofey+petrenko в сообщении #1544226 писал(а):

Но это не второй закон Ньютона!!!!!!

Нет, это закон сохранения импульса.

$$u\frac{dm}{dt}+m\frac{dv}{dt}=0$$

Здесь $u$ - скорость истечения в системе отсчёта где ракета покоится, а не в лабораторной системе отсчёта.

timofey+petrenko в сообщении #1544226 писал(а):

Следовательно, нельзя говорить, что выражение слева - это сила, действующая на ракету.

Можно. Это сила и есть.

$$\vec F=\frac{\vec{dP}}{dt}$$

timofey+petrenko в сообщении #1544226 писал(а):

Оно не равно проинтегрированной по времени 'реактивной силе' из уравнения Мещерского.

Покажите!

[timofey+petrenko]

zykov в сообщении #1544229 писал(а):

timofey+petrenko в сообщении #1544226 писал(а):

Но это не второй закон Ньютона!!!!!!

Нет, это закон сохранения импульса.

$$u\frac{dm}{dt}+m\frac{dv}{dt}=0$$

Здесь $u$ - скорость истечения в системе отсчёта где ракета покоится, а не в лабораторной системе отсчёта.

- С этим я не спорю.

zykov в сообщении #1544229 писал(а):

timofey+petrenko в сообщении #1544226 писал(а):

Следовательно, нельзя говорить, что выражение слева - это сила, действующая на ракету.

Можно. Это сила и есть.

$$\vec F=\frac{\vec{dP}}{dt}$$

- Это не сила, поскольку сила - это производная обеих множителей в импульсе.

zykov в сообщении #1544229 писал(а):

timofey+petrenko в сообщении #1544226 писал(а):

Оно не равно проинтегрированной по времени 'реактивной силе' из уравнения Мещерского.

Покажите!

- Есть в статье выше.

[zykov]

timofey+petrenko в сообщении #1544231 писал(а):

Это не сила, поскольку сила - это производная обеих множителей в импульсе.

Сила - производная импульса, а не каких-то множителей.

[timofey+petrenko]

zykov, да, но в выражении для импульса тела переменной массы оба множителя (масса и скорость) - функции времени. Мы дифференцируем произведение.
$F=\frac{d(mv)}{dt}=v\frac{dm}{dt}+m\frac{dv}{dt}\ne ma$

[zykov]

Для удобства перейдите в СО, где ракета в данный момент покоится.
Там $v=0$ и получите $\frac{d(mv)}{dt}=m\frac{dv}{dt}=ma$.

[timofey+petrenko]

zykov, допустим, что мы решили не переходить в такую систему, а остаться в ИСО, в которой в данный момент времени скорость ракеты ненулевая. Ускорение там будет таким же. Что тогда? Сила должна быть инвариантна относительно системы отсчета. Но здесь появится прибавка.

[svv]

timofey+petrenko в сообщении #1544242 писал(а):

Сила должна быть инвариантна относительно системы отсчета. Но здесь появится прибавка.

Вы имеете в виду, что действующая на тело сила (в смысле $\frac{d\mathbf p}{dt}$) обычно инвариантна относительно выбора ИСО, но не в случае тела переменной массы? Я согласен.

[zykov]

timofey+petrenko
Реактивная сила - это вполне конкретная сила из-за давления реактивных газов на сопло ракеты. Она конечно инвариантна при переходе к другой СО.
Из закона сохранения импульса для импульса самой ракеты будет $\vec{dP}=\vec F dt - \vec v dm$ в лабораторной СО.

Вот для примера возьмите летящее тело, на которое не действует сила. Пусть от него постепенно отделяется какая-то масса без взаимной скорости.
И само тело, и отделившаяся масса продолжают лететь дальше с той же скоростью. Суммарный импульс не изменился. А импульс тела уменьшился $\Delta \vec P=-\vec v \Delta m$.

[timofey+petrenko]

zykov , если мы поделим ваше выражение на дифференциал времени, то получим $ \frac{d \vec{P}}{dt} = \vec{F} - \vec{v} \frac{dm}{dt} $, а не $ \frac{d \vec{P}}{dt} =\vec{F} $ , что странно.

[zykov]

Как есть. Странно может быть только от непонимания.

Здесь $\vec P$ - это импульс не какого-то тела с неизменной массой, а некоторого количества материи, от которой мы постоянно отделяем часть её массы.
Я же привел очень прозрачный пример, где масса отваливается без взаимной скорости. Никаких сил нет. Полный импульс не меняется.
Импульс части уменьшается. Хотя скорость этой части неизменна, но массу этой части мы уменьшаем.

[svv]

Если в каждой ИСО сила, действующая на тело, равна $\mathbf F=\frac{d\mathbf p}{dt}$, она будет неинвариантной в случае переменной массы.

Пусть есть две ИСО, неподвижная $K$ и подвижная $K'$, которая движется с постоянной скоростью $\mathbf V$ относительно $K$. Пусть:
в момент $t_1$ масса тела равна $m_1$, а скорость $\mathbf v_1$ в $K$ и $\mathbf v'_1$ в $K'$;
в момент $t_2$ масса тела равна $m_2$, а скорость $\mathbf v_2$ в $K$ и $\mathbf v'_2$ в $K'$.
Тогда в $K$ изменение импульса за период от $t_1$ до $t_2$ равно $\Delta \mathbf p=\mathbf p_2-\mathbf p_1=m_2\mathbf v_2-m_1\mathbf v_1$.
А в $K'$ изменение импульса за тот же промежуток времени равно $\Delta \mathbf p'=\mathbf p'_2-\mathbf p'_1=m_2\mathbf v'_2-m_1\mathbf v'_1$.

Покажем, что $\Delta \mathbf p\neq \Delta \mathbf p'$. Найдём их разность:
$\Delta \mathbf p-\Delta \mathbf p'=(m_2\mathbf v_2-m_1\mathbf v_1)-(m_2\mathbf v'_2-m_1\mathbf v'_1)=$
$=m_2(\mathbf v_2-\mathbf v'_2)-m_1(\mathbf v_1-\mathbf v'_1)=(m_2-m_1)\mathbf V$
Это обращается в нуль при $m_1=m_2$, но не равно нулю в общем случае.
А раз $\Delta \mathbf p\neq \Delta \mathbf p'$, то и $\mathbf F\neq \mathbf F'$, то есть и силы различны. Повторяю, если в каждой из ИСО сила равна производной от импульса по времени.

[zykov]

svv в сообщении #1544264 писал(а):

Если в каждой ИСО сила, действующая на тело, равна $\mathbf F=\frac{d\mathbf p}{dt}$, она будет неинвариантной в случае переменной массы.

Если масса переменна, то у вас просто нет тела. Есть некоторая условная система. Что с ней делать, я писал выше.

[svv]

Хорошо, пусть вместо тела будет «ракета».

[svv]

Иными словами, в случае переменной массы нельзя одновременно сохранить формулу $\mathbf F=\frac{d\mathbf p}{dt}$ во всех ИСО и инвариантность $\mathbf F$.