Непрерывность функции из открытость определенных множеств

[artempalkin]

Задача: Пусть на интервале $(a,b)$ задана функция $f$. Доказать, что функция непрерывна на $(a,b)$ тогда и только тогда, когда для любых чискл $m,\ M\in\mathbb{R}$ множества $\{x\in(a,b):f(x)<M\}$ и $\{x\in(a,b):f(x)>m\}$ открыты.

Докажем в сторону: $f$ непрерывна - тогда $\{x\in(a,b):f(x)<M\}$ открыто.

Рассмотрим функцию $g(x)=f(x)-M$. Очевидно, она будет непрерывна на $(a,b)$ тогда и только тогда, когда непрерывна $f(x)$.

Соответственно, рассмотрим множество $x:g(x)<0$. Если таких точек нет, то все доказано. Если такая точка найдется, то найдем слева и справа от нее ближайшие точки, в которых $g(x)=0$. Если, скажем, слева такой точки не найдется, то берем $a$. Тогда у нас получится интервал, скажем, $(x_1,x_2)$, на котором функция всюду отрицательна. Отбросим его и будем искать следующую точку $x:g(x)<0$. Таких интервалов не может оказаться более чем счетное число (потому что на каждом из них найдется рациональное число). Объединение счетного числа интервалов - открытое множество.

Что-то очень сложное доказательство, кажется, хотя вроде и верное.

Но как в обратную сторону доказывать? Вообще нет никаких идей.

[mihaild]

А как у вас определяется непрерывная функция? В частности, знаете ли вы что функция непрерывна тогда и только тогда, когда прообраз любого открытого множества открыт? Из этого сразу следует результат в ту сторону, про которую вы говорите, и несложно следует в обратную.

artempalkin в сообщении #1543730 писал(а):

Отбросим его и будем искать следующую точку $x:g(x)<0$. Таких интервалов не может оказаться более чем счетное число (потому что на каждом из них найдется рациональное число).

Вот тут нужно как-то аккуратнее действовать. Например перебирать по очереди все рациональные точки, в которых значение функции отрицательно.

[Dan B-Yallay]

mihaild в сообщении #1543739 писал(а):

В частности, знаете ли вы что функция непрерывна тогда и только тогда, когда прообраз любого открытого множества открыт?

Это топология. А у ТС задача и определения, судя по всему, эпсилон-дельтные.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1543739 писал(а):

А как у вас определяется непрерывная функция? В частности, знаете ли вы что функция непрерывна тогда и только тогда, когда прообраз любого открытого множества открыт? Из этого сразу следует результат в ту сторону, про которую вы говорите, и несложно следует в обратную.

Нет, это обычный матан, обычное определение (функция непрерывна в точке, если ее предел в этой точке равен ее значению в этой точке).

mihaild в сообщении #1543739 писал(а):

Вот тут нужно как-то аккуратнее действовать. Например перебирать по очереди все рациональные точки, в которых значение функции отрицательно.

Ох, ну да, так будет надежнее... но что-то это как-то вообще сложно (в плане, мне же это решение объяснять студенту 1-го курса). Мне кажется, должно быть проще решение.

[xagiwo]

Кмк лучше использовать определение открытого множества как множества, которое любую точку содержит вместе с некоторой окрестностью

[artempalkin]

Итак, $\{x\in(a,b):f(x)<M\}$ и $\{x\in(a,b):f(x)>m\}$ для любых $m,M$ открыты - тогда $f(x)$ - непрерывна. Докажем.

Возьмем некоторую точку $x_0$ и число $\varepsilon$. Возьмем $m<f(x_0)<M$, при этом $|M-m|<\varepsilon$ (очевидно, это всегда можно сделать). Множество $\{x\in(a,b):m<f(x)<M\}$ - пересечение двух открытых множеств (по условию), а значит открытое множество. При этом это множество, конечно, содержит точку $x_0$ с некоторой его окрестностью. Возьмем эту окрестность - все доказано.

На самом деле не так уж и сложно в "эту" сторону, глаза боятся, а руки делают.

А вот в "ту" сторону все же должно быть попроще решение, мне кажется, чем перебирать все рациональные числа

-- 20.12.2021, 20:14 --

UPD наверное не совсем верно. Нужно брать сначала $f(x_0)-m<\varepsilon$, а потом $M-f(x_0)<\varepsilon$ и пересекать окрестности. Но суть примерно та же

[mihaild]

В "ту" сторону: пусть не открыто, тогда есть $x$ такое что $f(x_0) < M$ но в любой окрестности $x_0$ есть $y$ такое что $f(y) \geqslant M$, тогда что-то странное с пределом $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1543748 писал(а):

В "ту" сторону: пусть не открыто, тогда есть $x$ такое что $f(x_0) < M$ но в любой окрестности $x_0$ есть $y$ такое что $f(y) \geqslant M$, тогда что-то странное с пределом $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$.

Да, согласен, очень хороший подход, спасибо!