2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Открытие неевклидовой геометрии
Сообщение19.12.2021, 11:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9904
Москва
Геометрия возникла как прикладная наука, собрание эмпирических фактов и эмпирических приёмов, в частности, для землемерия (что, собственно, и есть γεωμετρία в переводе на греческий). Скажем, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 прямоугольный.
Но развилась потребность отыскивать новые факты и методы не эмпирически, а логически, опираясь на небольшое количество утверждений, принимаемых без доказательства, а только на основании того, что их эмпирически проверяли и сочли истинными. Причём проверка должна быть очень проста и не зависеть от погрешности инструментов. С этой точки зрения пятый постулат выглядел возможным источником ошибок. Его пытались либо исключить, выведя из прочих, как теорему, либо заменить другим, очевидным и легко проверяемым. В пользу возможности первого говорило то, что IV постулат, "все прямые углы равны", оказался доказуемой теоремой. Но с V так не получалось, и его пытались заменить иным, из которого он следовал бы. Начиная с Прокла
Цитата:
В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

и далее
Цитата:
Существует прямоугольник (хотя бы один), то есть четырёхугольник, у которого все углы прямые.
Существуют подобные, но не равные треугольники (аксиома Валлиса, 1693). И здесь достаточно, чтобы существовала хотя бы одна пара таких треугольников.
Любую фигуру можно пропорционально увеличить.
Вариант: существует по меньшей мере одна фигура, которую можно пропорционально увеличить.
Существует треугольник сколь угодно большой площади.
Прямая, проходящая через точку внутри угла (меньшего, чем $180^{\circ }$), пересекает по крайней мере одну его сторону (аксиома Иоганна Фридриха Лоренца, 1791).
Через каждую точку внутри острого угла всегда можно провести прямую, пересекающую обе его стороны (одно из предположений Лежандра, 1800).
Сближающиеся прямые рано или поздно пересекутся.
Вариант: перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой непременно пересекаются. Утверждение известно как постулат Лежандра, хотя эта формулировка встречалась ещё в XIII веке у ат-Туси.
Точки, равноудалённые от данной прямой (по одну её сторону), образуют прямую.
Вариант: расстояние между параллельными прямыми всегда постоянно, то есть параллельные прямые не могут ни сближаться, ни расходиться.
Если две прямые начали сближаться, то невозможно, чтобы они затем начали (в ту же сторону, без пересечения) расходиться (аксиома Роберта Симсона, 1756).
Вариант: Если две прямые в одну сторону расходятся, то в другую — сближаются.
Сумма углов одинакова у всех треугольников.
Вариант: существует, как минимум, одна пара неравновеликих треугольников с одинаковой суммой углов.
Существует треугольник (по меньшей мере один), сумма углов которого равна двум прямым.
Две прямые, параллельные третьей, параллельны и друг другу (аксиома Остроградского, 1855).
Линия, ортогональная некоторому семейству параллельных прямых, является прямой.
Прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, непременно пересечёт и другую.
Для всякого невырожденного треугольника существует описанная окружность (аксиома Фаркаша Бойяи).
Справедлива теорема Пифагора (как минимум в одном прямоугольном треугольнике).
Вариант: пространство имеет Евклидову метрику.
Отношение длины окружности к её диаметру является константой, то есть одинаково для любой окружности.
Существует окружность (хотя бы одна), у которой отношение длины окружности к её диаметру равно числу Пи.

Но ни одна из этих формулировок не удовлетворяла вполне. Либо надо было делать утверждения о бесконечно удалённых точках, либо опираться на результаты измерений, которые заведомо отягощены ошибками.
Поэтому работа продолжалась - в полной уверенности, что постулат верен, мы просто не смогли пока найти убедительную его формулировку. Такая точка зрения сильно повлияла на философию, например, Кант полагал, что евклидова геометрия известна apriori.
И новизна неевклидовой геометрии именно в том, что факт, признаваемый философами известным до опыта, но и опытами подтверждаемый, вдруг оказывается не более чем вопросом соглашения, "правилами игры", а эмпирические его подтверждения работают в определённых условиях и верны с определённой точностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытие неевклидовой геометрии
Сообщение19.12.2021, 11:58 
Заслуженный участник


16/02/13
4195
Владивосток
sergey zhukov в сообщении #1472364 писал(а):
физически осмысленной
Нет,
sergey zhukov в сообщении #1543479 писал(а):
можем ли мы считать, что внимательное изучение нашей теории показало нам: судя по всему, у пространства есть еще одно неизвестное нам ранее свойство - кривизна
нет
sergey zhukov в будущем почти наверняка напишет писал(а):
ещё какая-нить ересь касательно глубокой религиозно-философской связи промежду физикой и математикой
и нет!
Нет, непротиворечивость геометрии Римана не доказывает шарообразности Земли.
Нет, непротиворечивость геометрии Лобачевского не доказывает кривизны пространства.
Непротиворечивость этих двух геометрий доказывает независимость пятого постулата многострадального Евклида.
То, что геометрия реального, физического пространства обладает некими свойствами этих геометрий — не более чем совпадение. Не стоит искать в оном совпадении глубокого смысла — вы его там не найдёте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытие неевклидовой геометрии
Сообщение20.12.2021, 13:31 


17/10/16
4796
iifat
Да, пожалуй.

Всегда можно взять уравнения некоторой теории и введя некоторые новые параметры модифицировать уравнения так, чтобы в малом ничего не изменилось, но в большом все стало совершенно иначе (например, $\lambda$ в уравнениях ОТО). Отсюда, конечно, не следует, что одна только сама по себе возможность такой модификации тут же указывает на то, что эти параметры что-то значат и требуют точного определения. Способов такой модификации можно придумать сколько угодно.

Правильнее говорить, что геометрия Евклида - это геометрия в малом. Если бы пятый постулат Евклида оказался теоремой, то было бы доказано, что геометрия в малом совпадает с геометрией в большом. Т.е. это было бы доказательством того, что опыт в ограниченной области можно расширить на неограниченную область. Мы узнали, что нет такого доказательства, поэтому нам придется получить этот опыт. Возможно, что тогда что-то новое и откроется.

Кривизна пространства - это то, что мы возможно найдем. Возможно, это будет что-то другое. Возможно, что геометрия в малом действительно тождественна геометрии в большом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытие неевклидовой геометрии
Сообщение20.12.2021, 17:00 


05/09/16
12059
sergey zhukov в сообщении #1472769 писал(а):
Лично я ни минуты бы на нее не потратил и сразу счел бы эту "геометрию" полной ерундой.

Ну почему же не потратили бы. Шары умели делать и тогда. Берёте шар, рисуете на нём... Параллельные там того... Пересекаются... Рисуете на шаре треугольник, считаете сумму углов. И опять - не сходится.

-- 20.12.2021, 17:06 --

sergey zhukov в сообщении #1543479 писал(а):
2. Мы не знаем, чему точно равна кривизна нашего пространства, т.к. никогда не задавались целью ее измерить. Мы всегда считали возможность масштабирования чертежа на листе бумаги до любых сколь угодно больших размеров само собой разумеющимся

Тут опять же -- радиус кривизны Земли замерил Эратосфен ещё, практически современник Евклида.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытие неевклидовой геометрии
Сообщение20.12.2021, 17:16 
Аватара пользователя


23/12/18
430

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1543715 писал(а):
Параллельные там того... Пересекаются...
Что удивительно, это верное утверждение :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытие неевклидовой геометрии
Сообщение20.12.2021, 17:29 
Заслуженный участник


18/09/21
1756
wrest в сообщении #1543715 писал(а):
Параллельные там того... Пересекаются...
Так это же шар - он кривой, т.е. не идеальный. А геометрия была про идеальный плоский мир.
sergey zhukov в сообщении #1543698 писал(а):
Возможно, что геометрия в малом действительно тождественна геометрии в большом.
Мне кстати понравилась такая формулировка. Т.е. пятый постулат можно вывести из принципа самоподобия при масштабировании. Очень в духе современного теорфиза.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытие неевклидовой геометрии
Сообщение20.12.2021, 17:44 


05/09/16
12059
zykov в сообщении #1543719 писал(а):
Так это же шар - он кривой, т.е. не идеальный. А геометрия была про идеальный плоский мир.

Ну как же про идеальный, когда выяснилось что Гея, которую метровали, не плоская, и в больших масштабах концы с концами не сходятся. Это вполне себе наглядная модель. Кажется же, что плоская. Почему этой кривизны не может быть в большем масштабе тогда, и не в двух измерениях, а в трех? Почему мы считали, что неплоская Земля просто погружена в евклидово пространство -- да просто потому, что нам дальше Земли (и солнечной системы) особо и не было видно (как впрочем и сейчас: видно дальше чем тогда, но насколько хватает взора, пространство видится в целом плоским). Хотя пример с Землёй -- вот он. Просто не хватило смелости духа помыслить, или как вот у Гаусса, помыслив -- заявить об этом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытие неевклидовой геометрии
Сообщение20.12.2021, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9149
Цюрих
wrest в сообщении #1543715 писал(а):
Рисуете на шаре треугольник, считаете сумму углов. И опять - не сходится.
Ну вот нужно заметить, что если назвать эти странные линии прямыми, ввести на них странное понятие параллельности и т.д., то первые 4 аксиомы окажутся выполнены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытие неевклидовой геометрии
Сообщение20.12.2021, 19:32 
Аватара пользователя


23/12/18
430
mihaild в сообщении #1543731 писал(а):
странное понятие параллельности
Дык самое обычное понятие параллельности же, нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытие неевклидовой геометрии
Сообщение20.12.2021, 19:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9149
Цюрих
xagiwo в сообщении #1543734 писал(а):
самое обычное понятие параллельности же, нет?
Самое обычное понятие параллельности про прямые, а не про кривые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытие неевклидовой геометрии
Сообщение20.12.2021, 19:43 
Аватара пользователя


23/12/18
430
mihaild в сообщении #1543735 писал(а):
Самое обычное понятие параллельности про прямые, а не про кривые
Прямые необычные, а понятие параллельности для них обычное

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытие неевклидовой геометрии
Сообщение21.12.2021, 04:49 


17/10/16
4796
wrest
Даже сейчас, когда слова "искривленное пространство" разве что ленивый не говорит, все равно представить себе, что трехмерное пространство может быть искривлено, очень трудно. А мысль о том, что, возможно, в нашем мире не существует подобных тел (т.е. что масштабирование просто невозможно) - это кажется каким-то абсурдом даже и сейчас.
Лично я не настолько математик (да и вообще не математик), чтобы быть способным игнорировать вроде бы совершенно очевидное и называть черное белым (скажем, называть кривые прямыми или всерьез рассматривать треугольник, у которого три прямых угла). Это очень трудно. В трехмерном пространстве это еще гораздо труднее.
Да, геометрия на сфере - это пример. Но мысль о возможности трехмерной сферы - это совсем другое.

Недавно слышал, как Нил Деграсс рассказывал про темное вещество и среди прочего сказал:

"Название "темное вещество" я считаю очень неудачным. Фактически мы имеем гравитацию без видимого источника. Этот феномен так и следовало бы называть: "темная гравитация". Называя это "темным веществом", мы незаметно сворачиваем на "а, так это какое-то вещество". Неудачное, неточное название ограничивает нашу мысль".

Любой человек имеет эти очень сильные ограничения. В геометрии они особенно сильны. Вот тут выше говорили, что Кант даже считал геометрию априорным знанием, т.е. истинным знанием, которое даже не нуждается в опытной проверке. И задавался вопросом: откуда же мы получаем такое истинное знание? Ответ, видимо, состоит в том, что мы его получаем все же из опыта и что оно все же не истино.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытие неевклидовой геометрии
Сообщение21.12.2021, 10:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9149
Цюрих
xagiwo в сообщении #1543737 писал(а):
Прямые необычные, а понятие параллельности для них обычное
Это уже терминологический вопрос - может ли быть обычным определение при замене базовых элементов на необычные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытие неевклидовой геометрии
Сообщение21.12.2021, 10:58 


05/09/16
12059
sergey zhukov в сообщении #1543781 писал(а):
Даже сейчас, когда слова "искривленное пространство" разве что ленивый не говорит, все равно представить себе, что трехмерное пространство может быть искривлено, очень трудно.

Конечно, поэтому и дожидались Лобачевского и Римана... Вот в том же ролике - Гаусс что-то знал, но не решился сказать.
sergey zhukov в сообщении #1543781 писал(а):
игнорировать вроде бы совершенно очевидное и называть черное белым (скажем, называть кривые прямыми или всерьез рассматривать треугольник, у которого три прямых угла).

Ну с треугольником-то как раз проще. Опять же, берёте глобус, экватор и пару меридианов отстоящих на 90 градусов - вот вам и треугольник с тремя прямыми углами. Ведь на земле так и будет, если ходить вдоль этих линий: меридианы будут прямыми, экватор тоже. Взаимно-перпендикулярны в местах пересечения.
sergey zhukov в сообщении #1543781 писал(а):
Но мысль о возможности трехмерной сферы - это совсем другое.
Конечно, ну так и над Эйнштейном смеялись (и даже хуже). Что за дела -- ведь ещё Ньютон и Галилей все открыли... А до этого, Галилей открыл что тела падают равноускоренно и ускорение не зависит от массы, хотя ещё Аристотель считал... Инерция мышления дело такое...
sergey zhukov в сообщении #1543781 писал(а):
Вот тут выше говорили, что Кант даже считал геометрию априорным знанием, т.е. истинным знанием, которое даже не нуждается в опытной проверке.
Это мне кажется то же самое, что и вопрос про непостижимую эффективность математики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытие неевклидовой геометрии
Сообщение21.12.2021, 15:17 
Заслуженный участник


16/02/13
4195
Владивосток
sergey zhukov в сообщении #1543698 писал(а):
геометрия Евклида - это геометрия в малом
Ну я ж говорил — очередная ересь не заставит себя ждать.
sergey zhukov в сообщении #1543698 писал(а):
это было бы доказательством того, что опыт в ограниченной области можно расширить на неограниченную область
Это не было бы доказательством ничего относящегося к реальному миру.
sergey zhukov в сообщении #1543698 писал(а):
Мы узнали, что нет такого доказательства
Такое чувство, что вы недавно узнали историю пятого постулата и сие открытие воодушевило вас сверх всякой меры. Никак вам не удаётся осознать, что доказательство независимости пятого постулата, разработка неевклидовых геометрий — достаточно рядовой факт внутри математики, и только. Ну доказали бы зависимость — и чо? Как только физики б выяснили, что евклидова геометрия не соответствует реальному миру, разработали б ещё какую геометрию на другом каком-нить наборе аксиом, отличающемся от евклидова не пятым постулатом, а прочими четырьмя. Видит бог, небо не упало б на Землю.
sergey zhukov в сообщении #1543698 писал(а):
Кривизна пространства - это то, что мы возможно найдем
Что значит — возможно, найдем? Вы её до сих пор не нашли? Ну начните с Википедии: Кривизна простра́нства-вре́мени — физический эффект, проявляющийся в девиации геодезических линий, то есть в расхождении или сближении траекторий свободно падающих тел, запущенных из близких точек пространства-времен

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 56 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group