Найти норму функционала

[marie-la]

Задача - найти норму линейного функционала
$f(x)=\int\limits_{0}^{\pi}x(t)\cos t dt$
в $C_2[0,\pi]$.
Я попыталась сделать что-то типа
$f(x)=-\int\limits_{0}^{\pi} x'(t)\sin t dt$,
и потом написать, что
$f(x)=\frac{1}{2} \int\limits_{0}^{\pi}(x(t)\cos t-x'(t)\sin t)dt$,
ну и затем неравенством Коши-Буняковского от косинуса и синуса избавиться. В итоге оценка нормы $\frac{\pi}{2}$. Мне эта оценка кажется слишком грубой, норма должна бы быть меньше.
Помогите, пожалуйста.
Я вот думаю, может, имеется в виду не сумма максимумов, а максимум максимумов в качестве нормы в $C_2$. Но я такого определения нигде не видела.

Upd: Могу $\sqrt{2}$ оценить норму, но все равно, думаю, много.

[Markus228]

marie-la
У вас же обычное скалярное произведение, когда оно максимально при фиксированных длинах векторов?
Ну или можете в лоб найти максимум через Лагранжа

[marie-la]

Markus228
Там же не $L_2$, а $C_2$. Вроде как не гильбертово пространство.

[Red_Herring]

marie-la
Что такое пр-во $C_2$? Что такое $C^2$ известно, а вот с нижним индексом ...

[Markus228]

marie-la
Тогда у меня получается $2$, если за $x(t)$ взять смещенную функцию Хэвисайда со знаком минус

[marie-la]

Red_Herring
То же самое,
$||x||=\max\limits_{[0,\pi]}|x(t)|+\max\limits_{[0,\pi]}|x'(t)|+\max\limits_{[0,\pi]}|x''(t)|$
По крайней мере я так думаю.

[Markus228]

(Оффтоп)

marie-la
А вот как тут норма определяется

[Red_Herring]

marie-la в сообщении #1543593 писал(а):

По крайней мере я так думаю.

Стоит уточнить, поскольку непонятно, почему все три максимума идут с одним и тем же весом. В любом случае, что означает что норма равна $1$ и при каком таком элементе интеграл будет максимальным

[Markus228]

marie-la в сообщении #1543593 писал(а):

То же самое,
$||x||=\max\limits_{[0,\pi]}|x(t)|+\max\limits_{[0,\pi]}|x'(t)|+\max\limits_{[0,\pi]}|x''(t)|$
По крайней мере я так думаю.

Если норма такая, то максимум надо искать на функциях вида - нечетных, от нуля идет парабола, потом превращается в прямую, потом опять в параболу, потом в константу

[Red_Herring]

Markus228 в сообщении #1543615 писал(а):

сли норма такая, то максимум надо искать на функциях вида - нечетных, от нуля идет парабола, потом превращается в прямую, потом опять в параболу, потом в константу

Это был бы, частично, правильный ответ, если бы рассматривались функции, равные $0$ на концах интервала и с нормой

$$||x||=\max\limits_{[0,\pi]}|x''(t)|.$$

Если вам сказали, что вы в состоянии решать подобные задачи, то вас нагло обманули.

[Markus228]

Red_Herring в сообщении #1543645 писал(а):

Это был бы, частично, правильный ответ, если бы рассматривались функции, равные $0$ на концах интервала и с нормой

$$||x||=\max\limits_{[0,\pi]}|x''(t)|.$$

Ой да, у нас ноль должен быть смещен на $\frac{\pi}{2}$ конечно же, в силу нечетности косинуса, тогда $x(\frac{\pi}{2})=0$
И для этой нормы просто парабола будет (в положительной части для косинуса)

Red_Herring в сообщении #1543645 писал(а):

Если вам сказали, что вы в состоянии решать подобные задачи, то вас нагло обманули.

А вам за ваш "юмор" IRL случаем не прилетало?

[Red_Herring]

Markus228 в сообщении #1543646 писал(а):

И для этой нормы просто парабола будет (в положительной части для косинуса)

Так у ТС норма другая. И это не юмор, а диагноз.

[Markus228]

Red_Herring в сообщении #1543647 писал(а):

Так у ТС норма другая.

Так у меня и решение другое, оно же не подходит для вашей нормы, к чему она тогда?

Red_Herring в сообщении #1543647 писал(а):

И это не юмор, а диагноз.

А вам и за ваши "диагнозы" IRL случаем не прилетало?

[Red_Herring]

Markus228 в сообщении #1543648 писал(а):

Так у меня и решение другое, оно же не подходит для вашей нормы, к чему она тогда?

Ваше решениене подходит ни для нормы ТС, ни для той, которую я описал. Есть, правда, норма, для которой оно подходит.
https://www.youtube.com/watch?v=MDmnaGTLzxE

[Markus228]

Red_Herring в сообщении #1543649 писал(а):

Ваше решениене подходит ни для нормы ТС, ни для той, которую я описал.

Ну так я попробовал просто

-- 20.12.2021, 03:44 --

Red_Herring в сообщении #1543599 писал(а):

Стоит уточнить, поскольку непонятно, почему все три максимума идут с одним и тем же весом.

А что тут странного-то?