2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пробел в доказательстве у Ершова-Палютина?
Сообщение15.12.2021, 16:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
287
Доброго дня, господа!

Разбираюсь с основой теории доказательств, читаю 6-ю главу Ершова-Палютина.
В определении генценовского исчисления $\text{G}$ требуется, чтобы ни одна переменная не входила в секвенцию одновременно свободно и связанно (несмешанные переменные). Это «невинное» требование заставляет быть очень аккуратным при различных перекройках деревьев доказательств.

В Предложении 2 параграфа 32 утверждается, что секвенция, доказуемая в $\text{ИП}$, также доказуема и в $\text{G}$. Доказывается эта штука индукцией по дереву доказательства в $\text{ИП}$. При этом вопрос несмешанности переменных обходится стороной. Но ведь в $\text{ИП}$ переменные могут смешиваться! Более того, в $\text{ИП}$ так часто и бывает: $P(x)\vdash_{\text{ИП}}\exists x P(x)$.

Как закрыть этот пробел? Сам не придумал — перекройка деревьев доказательств в $\text{ИП}$ штука неподъемная. Единственный путь, что пришел в голову — снять в $\text{G}$ требование о несмешиваемости переменных и во всех правилах вывода разрешить переименование связанных переменных (замену формул на конгруэнтные им). Но это что-то уж слишком, и не уверен, что при таком переопределении $\text{G}$ все остальное изложение Ершова-Палютина не пострадает. Буду рад любым комментариям!

 Профиль  
                  
 
 Re: Пробел в доказательстве у Ершова-Палютина?
Сообщение16.12.2021, 02:56 


06/06/13
71
В книге Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. М.: Физматлит, 2011 нет параграфа 32, но есть предложение 6.3.4, которое действительно утверждает, что если секвенция $С$ исчисления $G$ доказуема в \text{ИП}^\Sigma$, то она доказуема и в исчислении $G$. Но в начале § 6.3 говорится: "В этом параграфе докажем, что секвенция исчисления \text{ИП}^\Sigma$, которая является и секвенцией исчисления $G$ (т.е. не содержит знаков импликации $\to$ и равенства $\approx$ и удовлетворяет условию несмешанности переменных), доказуема в \text{ИП}^\Sigma$ тогда и только тогда, когда она доказуема в $G$". С доказательством я, правда, незнаком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пробел в доказательстве у Ершова-Палютина?
Сообщение16.12.2021, 08:46 


30/09/19
22
Я не знаком с книгой Ершова-Палютина, но вообще связанные переменные можно переименовывать, не меняя значения выражения. $P(x)\vdash\exists x P(x)$ и $P(x)\vdash\exists y P(y)$ - это просто одно и то же. Можно считать, что когда вы видите $P(x)\vdash\exists x P(x)$, связанная переменная $x$ и свободная переменная $x$ это разные переменные, просто имеют одинаковые названия.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group