Индексы подгрупп конечно заданной группы

[sour]

vpb
Да я не прав был, не нужно уже выражать словами. Идея была в том, чтобы раскладывать $j$ на произведения, состоящие из $n$ сомножителей, и возводить образующие в определении группы в степени, равные этим сомножителям. Тогда, как мне казалась, получаемая подгруппа будет иметь индекс $j$, но это не так, они точно могут иметь индекс меньше $j$, возможно, могут иметь индекс больший, чем $j$.

-- 13.12.2021, 23:04 --

mihaild
Каждый гомоморфизм ставит в соответствие каждой образующей какой-то элемент из образа.
Если два гомоморфизма ставят в соответствие каждой образующей один и тот же элемент из образа, то эти гомоморфизмы совпадают.
Тогда если $n$ - число образующих, то верхняя оценка числа нормальных подгрупп - это $C^{n}_j$.
Но ведь это нормальные подгруппы, а не все возможные подгруппы.

-- 13.12.2021, 23:19 --

vpb

Цитата:

Не "равно", а "не превосходит".

И почему же не равно? Ведь каждой нормальной подгруппе соответствует гомоморфизм, ядром которого она является, а каждому гомоморфизму соответствует некоторая нормальная подгруппа. Поэтому гомоморфизма без нормальной подгруппы или нормальной подгруппы без гомоморфизма быть не может, а значит их число совпадает.

[mihaild]

sour в сообщении #1542816 писал(а):

Но ведь это нормальные подгруппы, а не все возможные подгруппы.

Правильно. Для случая не нормальной подгруппы у нас нет гомоморфизма в смежные классы (потому что они не образуют группу), но может быть всё равно можно посмотрев на смежные классы как-то построить гомоморфизм из $G$ в конечную группу? Подсказка: хотя смежные классы нельзя умножать друг на друга, их всё равно можно умножать на элементы $G$.

sour в сообщении #1542816 писал(а):

Ведь каждой нормальной подгруппе соответствует гомоморфизм, ядром которого она является, а каждому гомоморфизму соответствует некоторая нормальная подгруппа.

Потому что могут быть разные гомоморфизмы с одним и тем же ядром.

[sour]

mihaild
Каждый элемент из $G$ при умножении справа как-то переставляет смежные классы $g_1H,\ g_2H, \dots$ по подгруппе $H$.
Будем считать, что $g_1 \thicksim g_2$ если $g_1$ переставляет смежные классы так же, как и $g_2$. Такое отношение эквивалентности разбивает $G$ на классы эквивалентности $A=\{A_1, A_2 \dots\}$.
Введем операцию $\circ$ на этих классах эквивалентности, $(A, \circ)$ - группа.
Можно построить гомоморфизм из $G$ в $A$, сопоставляя каждому элементу соотвествующий ему класс эквивалентности.

Получается, что каждой подгруппе соответствует какой-то гомоморфизм, отображающий ее на подгруппу перестановок смежных классов по ней, причем порядок последней не превышает $j!$. Таких групп существует конечное количество и гомоморфизмов из $G$ в такие групп конечное число.

Но у нескольких подгрупп может быть одна и та же группа перестановок их смежных классов под воздействием элементов из $G$, я не знаю, что с этим делать.

[mihaild]

sour в сообщении #1542975 писал(а):

Но у нескольких подгрупп может быть одна и та же группа перестановок их смежных классов под воздействием элементов из $G$

Группа перестановок - может. А вот может ли у них быть один и тот же гомоморфизм?

[sour]

mihaild
Я так подумал, я не прав. Я попробовал посмотреть, как переставляются смежные классы $S_3$ по подгруппе, состоящей из тождественного преобразования и отражения относительно одной из оси, когда умножаешь их на элементы группы. У меня получилось 6 перестановок смежных классов. Т.е. группа перестановок смежных классов изоморфна самой $S_3$.

Расскажите подробнее, о каком гомоморфизме, соответствующем подгруппе, вы говорите.

[mihaild]

sour в сообщении #1543065 писал(а):

как переставляются смежные классы $S_3$ по подгруппе, состоящей из тождественного преобразования и отражения относительно одной из оси

А какие там смежные классы получились?

[sour]

mihaild
$G=S_3$
$H=\{e,(12)\}$

$(13)H=(132)H=\{(13),(132)\}$
$(23)H=(123)H=\{(23),(123)\}$
$(12)H=eH=\{e,(12)\}$

Получается три смежных класса. Каждый элемент $G$ при умножении на смежные классы как-то их переставляет. Всего получается $6$ различных перестановок трех смежных классов, по одной на каждый элемент из $G$.

-- 15.12.2021, 21:46 --

mihaild
Хотя нет, я придумал пример. $D_8$ является ненормальной подгруппой $S_4$. В $S_4$ $24$ элемента, а смежных классов у нас $3$, а значит элементам $S_4$ будут соответствовать какие-то перестановки трех элементов. Т.е. элементы $S_4$ будут отображаться в $S_3$.

[mihaild]

Правильно. Посмотрите, в какие перестановки смежных классов переходит $H$ - какие у этих перестановок неподвижные точки?
Возьмите какую-нибудь другую подгруппу - в какие перестановки переходит она? какие у них неподвижные точки?

[vpb]

Каргаполов, Мерзляков, Основы теории групп,(3-е изд.), параграф 12, особо теорема 12.2.2 --- очень полезно. Ну и в Кострикине про представления групп подстановками тоже кое-что написано (т.3, гл.1, пар.3). А также Холл, Теория групп, начало гл.5.

[sour]

mihaild
Все элементы из $H$ отображаются в такой класс эквивалентности, который оставляет $H$ на месте.

Возьмем какие-то две подгруппы одного и того же индекса $j$ $H_1$ и $H_2$.
Допустим, что гомоморфизмы на группу классов эквивалентности для $H_1$ и $H_2$ совпадают. Тогда гомоморфизм для $H_2$ должен отображать $H_1$ в класс эквивалентности, оставляющий $H_1$ на месте, а значит элементы из $H_1$ относятся к одному смежному классу по $H_2$.
Учитывая, что индексы подгрупп совпадают, получается, что $H_1$ является смежным классом по $H_2$, а значит найдется такой $x\in G$, что $xH_2=H_1$. Получается, что для любого $h_1 \in H_1$ найдется $h_2 \in H_2$, такой, что $xh_2=h_1$. Ну тогда получается, что найдется такой $h_2 \in H_2$, что $xh_2=e$, а значит $x \in H_2$, следовательно $xH_2=H_2=H_1$.
Т.е. если у двух подгрупп совпадают гомоморфизмы, то эти подгруппы совпадают.
Тогда получается, что каждой подгруппе соответствует свойственный только ей гомоморфизм из $G$ на какую-то конечную группу порядка $j$.
Учитывая, что $G$ конечно порожденная, число таких гомоморфизмов конечно, а значит и подгрупп нужного индекса в $G$ будет конечное число.

[mihaild]

sour в сообщении #1543107 писал(а):

Допустим, что гомоморфизмы на группу классов эквивалентности для $H_1$ и $H_2$ совпадают.

Классы эквивалентности не образуют группу. У нас есть гомоморфизмы на группы перестановок классов эквивалентности, но они совпадать не могут, потому что для разных подгрупп классы эквивалентности, а значит и группы их перестановок разные (и канонического изоморфизма между ними нет).

[sour]

mihaild

Цитата:

Классы эквивалентности не образуют группу

Под группой классов эквивалентности я понимаю группу перестановок смежных классов по подгруппе при умножении на элемент группы. Элементы группы, совершающие одну и ту же перестановку смежных классов, я считаю эквивалентными друг другу. Такое отношение эквивалентности образует классы эквивалентности. Можно ввести композицию классов эквивалентности как композицию перестановок, совершаемых элементами этих классов. Тогда множество кассов эквивалентности с операцией композиции будет образовывать группу. На эту группу можно гомоморфно отобразить изначальную группу, на которой мы и рассматривали смежные классы. Т.е. каждой подгруппе соответствует какая-то группа перестановок смежных классов по ней.

Цитата:

для разных подгрупп классы эквивалентности, а значит и группы их перестановок разные

Это не правда. Для трех ненормальных подгрупп $S_3$ группа перестановок смежных классов(или, как я говорю, группа классов эквивалентности по определенному выше мною отношению эквивалентности) совпадает - это $S_3$. Не могут совпадать гомомофризмы, потому что если они будут совпадать, то окажется, что и подгруппы, которые им соответствуют в описанном выше смысле, совпадают(я это доказал постом выше).

[mihaild]

sour в сообщении #1543132 писал(а):

Для трех ненормальных подгрупп $S_3$ группа перестановок смежных классов(или, как я говорю, группа классов эквивалентности по определенному выше мною отношению эквивалентности) совпадает - это $S_3$.

Нет, это не $S_3$, это изоморфная $S_3$ группа. Проблема в том, что группы перестановок (биекций в себя) множеств например $\{1, 2, 3\}$ и $\{4, 5, 6\}$ - разные (как множества), и между ними нет канонического изоморфизма.

[sour]

mihaild
И я выше не совсем правильно написал. Вообще максимальное число гомоморфизмов из $G$ с $n$ образующих в конечную группу из $j$ элементов $\overline{A_j^n}$, т.е. равно числу размещений с повторениями.

Цитата:

что группы перестановок (биекций в себя) множеств например $\{1, 2, 3\}$ и $\{4, 5, 6\}$ - разные (как множества), и между ними нет канонического изоморфизма

Ну как же? Можно, например, транспозиции первого и третьего элементов первого множества поставить транспозицию первого и третьего из второго и т.д. Чем не изоморфизм?

[Mikhail_K]

sour в сообщении #1543135 писал(а):

Чем не изоморфизм?

Это изоморфизм, но это не единственный изоморфизм, а вот выделенного (канонического) - нет.
Кстати, имейте в виду, что множество - это не упорядоченный список; нет такого понятия "первый элемент множества", "второй элемент множества". Какой элемент в множестве первый, какой второй, а какой третий - можно определить, пронумеровав их; но это можно сделать разными способами, а единственного универсального способа нет.