Задача на динамику.

[Future engineer-builder]

Пожалуйста, проверьте анализ и решение задания
Прошу дать качественную оценку!:D
За любую оценку заранее БОЛЬШАЯ БЛАГОДАРНОСТЬ.

Моторная лодка двигалась по озеру со скоростью $u = 20 $м/с. После выключения мотора лодка прошла путь $S = 40$м и остановилась. Считая силу сопротивления движению $Fcопр = ku$, определить коэффициент сопротивления $k$, если её масса $m = 200$кг.

Решение:

При выключенном двигателе сила тяги $F_T = 0$, на лодку будет действавать только сила тяжести $mg$, проекция вектора силы которой на нужную ось OX дает $0$ и сила сопротивления $F_c$. Тело остановилось и значит имеет нулевую конечную скорость. Поэтому по 2-му закону Ньютона проекция OX:
$ma=-F_c$
$\frac{mdv}{dt}} = -kv$ (при $v=20$ м/с, $v_1=0$, $t_0=0$, $t_1=t$)

После интегрирования получаем:
$k=m lnv/t$

Найдем время $t$, за которое моторка прошла путь $S$:
$dS=v(t)dt$
выразив $v$ из $k$, подставляем в $dS$
$dS=e^k^t^/^mdt$ ($S_0=0$, $S=40$, $t_0=0$, $t_1=t$)

После интегрирования получаем:
$S=me^k^t^/^m/k$
выражаем $t$ и подставляем в $k$
$k=e^1^/^l^n^vm/S$

Дальше, подставив численные значения из "дано", получаем:
$k=6,96$ кг/c

Ответ:$k=6,96$

[A.G.]

Future engineer-builder писал(а):

После интегрирования получаем:
$k=m lnv/t$

Вроде константу интегрирования забыли. Будет

$ln(v /v_0) = -kt/m$
$v = v_0exp(-kt/m)$

[Парджеттер]

Future engineer-builder писал(а):

$ma=-F_c$
$\frac{mdv}{dt}} = -kv$ (при $v=20$ м/с, $v_1=0$, $t_0=0$, $t_1=t$)

После интегрирования получаем:
$k=m lnv/t$

Это неверно.

Кстати, логарифм лучше ставить с косой чертой, чтобы он был пряммым

\ln v

вот так $\ln v$

Добавлено спустя 32 секунды:

Вот A.G. уже написал пока я думал.

Добавлено спустя 3 минуты 32 секунды:

Future engineer-builder писал(а):

После интегрирования получаем:
$S=me^k^t^/^m/k$

Здесь опять то же самое.

[chiba]

Future engineer-builder в сообщении #154239 писал(а):

$\frac {mdv}{dt}=-kv (при $v=20 м/с, v_1=0, $t_0=0,, $t_1=t)

Здесь ошибка в определении конечного условия. Время остановки лодки в такой вязкой среде будет равно бесконечности. Для правильного ответа нужно использовать то, что дано, а именно $v_1=0, $S=40 м. Само уравнение записано правильно. Интегрируем его и получим
$m ln v=-k t+Const
Экспоненциируем
$v=C_1 Exp(-\frac {k}{m}t).
Здесь константа $C_1=Exp(\frac {Const}{m})
Найдем ее при $t=t_0=0. Получаем
$v=v_0 Exp(-\frac {k}{m}t).
Видно, что скорость достигнет нуля за бесконечное время.
Дальше надо проинтегрировать скорость по времени и найти $S, а далее по известному $S найти коэффициент сопротивления. Думаю, что с этим вы справитесь самостоятельно.

P.S. Ну вижу тут коллективный разум уже справился

[Future engineer-builder]

Не удается выразить $k$ из
$S=mv_0e^-^k^t^/^m/k$

[A.G.]

Future engineer-builder писал(а):

Не удается выразить $k$ из
$S=mv_0e^-^k^t^/^m/k$

только численными методами

[GAA]

Future engineer-builder писал(а):

Не удается выразить $k$ из
$S=mv_0e^-^k^t^/^m/k$

Потому, что выражение для S найдено с ошибкой! Решите правильно - и легко получится.

[mkot]

Тут всё гораздо проще, если знать один шаманский приём.
А именно, нам необходимо решить ду

$$m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}} = -kv$$

.
Заметим, что время нам в дальнейшем нигде не понадобится. Поэтому делаем замену

$$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s}\cdot\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s}$$

,
где $s$ -- перемещение вдоль оси $Ox$.
подставим в уравнение:

$$mv\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s}} = -kv$$

,
после сокращения на $v$:

$$m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s}} = -k$$

.
Полученный дифур решается элементарно, задача Коши: $s(0) = 0, v(0)=20$.

[GAA]

Думаю, студент должен закончить решать тем способом, которым начал, и найти ошибку. Просто аккуратно проинтегрировать надо. Такие вещи обязательно надо уметь делать без ошибок.
А уже потом применить «шаманский» способ, и посмотреть насколько это быстрее. Интересно, почему способ «шаманский»: у студентов специальности «Физика» в первом семестре колебание м. маятника рассматриваются, там этот способ и обсуждается. Тоже самое в техническом вузе.

[mkot]

GAA писал(а):

Интересно, почему способ «шаманский»: у студентов специальности «Физика» в первом семестре колебание м. маятника рассматриваются, там этот способ и обсуждается. Тоже самое в техническом вузе.

Это я так его назвал, потому что с ним решение короче. А если искать через время,
то тут возникает один интересный вопрос: найдите время, через которое остановится лодка?

[GAA]

mkot писал(а):

А если искать через время,
то тут возникает один интересный вопрос: найдите время, через которое остановится лодка?

Нашел, перед тем как писать, что "легко получится". Не надо сбивать студента. Пусть работает!

[Батороев]

Такое ощущение, что школьную задачу пытаются решить изощренными методами.

Здесь, на мой взгляд, требуется найти лишь ускорение:
$ a = \frac {u^2}{2S} $,
а затем подставить в выражение:
$ F_c = ma = ku $.

[GAA]

Пожалуйста, не надо сбивать студента! Пусть работает!

[chiba]

Батороев в сообщении #154323 писал(а):

Здесь, на мой взгляд, требуется найти лишь ускорение: ...

А кто вам сказал, что движение будет равноускоренным, как вы предполагаете своей формулой?

[Future engineer-builder]

Все - сдаюсь

Откройте тайну...