Killer Problem 12

[novichok2018]

То же другими словами - получили однородное уравнение, посокращать в нём что можно и решать оставшееся как однородное. Получится?

[TR63]

nnosipov в сообщении #1542016 писал(а):

Речь идет о задаче 12 из текста http://www.chronomaitre.org/KillerProblems.pdf: решить в вещественных числах систему уравнений $y(x+y)^2=9$ и $y(x^3-y^3)=7$. Мне кажется, что эта задача имеет почти устное решение. Предлагаю его найти.

$$f=x[9x^2-7x-14y]_1-[9y^3+7y^2]_2$$

Предположим, что существует решение $(x;y)\neq(2;1)$. Допустим, что $x>2$. Тогда из первого уравнения системы следует, что $y<1$. Если существует решение $(x;y)\neq(2;1)$ для системы, то оно находится среди решений уравнения $f=0$ (обратное может быть неверно). Но $[]_2<16$, а $[]_1>16$, значит $f\neq0$. Следовательно должно быть $x<2$. Тогда из второго уравнения системы должно быть $y>1$. Итак, для существования решения системы необходимо выполнение условия: $1<y<x<2$. $f(x=y)<0$, $f(x=2)<0$. Отсюда следует что система имеет не более одного решения.