Ограниченность производной "шапочки"

[meshok]

Пусть

$$ f(x,a)=\chi_{(-a,a)}e^{-\frac{1}{a^2-x^2}}$$

Можно ли как-нибудь очень просто показать, что существует такое $M$, что для всех достаточно малых $a$, скажем для $a\in(0,1)$, верно $|f'_x(x,a)|\leqslant M$? Мне нужно такое утверждение для каждой производной, но, думаю, если показать для первой, то для всех остальных будет получаться аналогично. Я производную выписал, но как доказать элементарно ограниченность не вижу. Может кто подкинет идейку.

[B@R5uk]

Что за функция кси такая? И вы точно уверены, что вас там в знаменателе разность квадратов, а не сумма?

[ozheredov]

B@R5uk в сообщении #1542244 писал(а):

Что за функция кси

Это хи )

[svv]

Тут $\chi_{(-a,a)}{\color{magenta}(x)}$ — это вот это. Это равно $1$, если $x\in(-a,a)$, а иначе равно $0$. И, видимо, этот нуль настолько сильный, что перекрывает несуществование $e^{-\frac{1}{a^2-x^2}}$ при $x=\pm a$, и там тоже $f(x,a)=0$.

[mihaild]

Докажите по индукции, что $n$-я производная этой функции имеет вид $\chi_{(-1, a)}(x) \cdot e^{-\frac{1}{a^2 - x^2}} \cdot Q_n(x)$, где $Q_n$ - рациональная функция, у которой нет полюсов кроме быть может $x = \pm a$. А функции такого вида непрерывны (вне $x = \pm a$ просто как произведение непрерывных, в этих точках - потому что экспонента всё забивает), и соответственно ограниченны на компакте.
Общую константу $M$ для всех производных подобрать не получится, потому что тогда бы ряд Тейлора для $e^{-1\frac{1}{a^2 - x^2}}$ с центром в нуле имел радиус сходимости хотя бы $1$, а у этой функции существенная особенность ближе $1$ от нуля.