Почему дисперсия находятся по-разному?

[Kevsh]

Есть две задачи, в них почти всё решается одинаково, но вот дисперсия почему-то считается по-разному.

1 Задача.
Пусть $\eta=\frac{1}{n}(\xi_1+...+\xi_n)$, где $\xi_1,...,\xi_n$ — последовательность независимых и одинаково распределённых случайных величин, имеющих равномерное распределение R [0; 2].
Что нужно найти в этой задаче не особо важно, важно то, что дисперсия тут считается как $D\xi=\frac{(2-0)^2}{12}=\frac{1}{3}\implies D\eta=\frac{\frac{1}{3}\cdot n}{n^2}$, вот тут непонятно, откуда взялся этот $n^2$.

2 Задача.
Предположим, что один шаг пешехода распределён равномерно от 65 до 75 см, а размеры шагов независимы. Было сделано 10000 шагов.
Я решил, что $\xi$ – это один шаг, а $\eta$ – сумма шагов.
Тут уже дисперсия считается немного иначе: $D\xi=\frac{(0,75-0,65)^2}{12}=\frac{1}{1200}\implies D\eta=10000\cdot \frac{1}{1200}=\frac{25}{3}$.

Вот вроде задачи очень похожие, а дисперсия считается немного по-разному. Если в первой задачи убрать квадрат, то она не решается, просто потому что там нужно найти это самое $n$. Если делить всё время на $n$, даже во второй задаче, то получается, что дисперсия суммы такая же, как у отдельного члена этой суммы, что странно.

[mihaild]

Определение дисперсии выписать можете?
И обратите внимание, что в первой задаче $\eta$ это не сумма $\xi_i$, а их среднее.

[Otta]

Считается дисперсия разных случайных величин, само собой, что по-разному.

Kevsh в сообщении #1542102 писал(а):

Если в первой задачи убрать квадрат, то она не решается, просто потому что там нужно найти это самое $n$.

Можно тут Вас остановить. Какая там была задача? Судя по тексту, нужно найти дисперсию эта. А в конце поста уже оказывается, что $n$. А на самом деле?

[Kevsh]

Otta
Найти нужно было $n$, но чтобы это сделать, нужно сначала найти дисперсию $\eta$, так как нужно использовать центральную предельную теорему. Составляется уравнение, в котором просто не будет переменной, если убрать квадрат из знаменателя.

-- 08.12.2021, 21:25 --

mihaild
Как я понял, дисперсия – разброс величины относительно её математического ожидания. То, что $\eta$ – среднее, как мне казалось, нужно учитывать, деля сумму дисперсий на $n$, ведь если бы она была не средним, а просто суммой, то, мне кажется, мы бы даже на $n$ не делили, а просто записали её как $\frac{n}{3}$.

[mihaild]

Kevsh в сообщении #1542128 писал(а):

Как я понял, дисперсия – разброс величины относительно её математического ожидания

Точнее. Если вы говорите о ЦПТ, то должны знать формальное определение дисперсии.

[Kevsh]

mihaild
Дисперсия – математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от ее математического ожидания или мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Всё равно не очень понятно, откуда появляется квадрат.

[Someone]

Kevsh в сообщении #1542136 писал(а):

Всё равно не очень понятно, откуда появляется квадрат.

Вы формулы-то напишите, наконец. А то так и будете спрашивать: "откуда…"

[Mikhail_K]

Kevsh
Найдите слово "квадрат" в своём последнем сообщении.

[Kevsh]

Someone
$D\xi=M(\xi-M\xi)^2$, но я во втором случае (и еще много где) мог найти дисперсию суммы просто умножением дисперсии одного члена на количество этих членов. Тут у меня та же сумма, но делённая на $n$, вот, вроде как, и должно получиться тоже просто в конце деление на $n$. Как тут воспользоваться этой формулой, учитывая то, что по идее мне нужно найти дисперсию этого среднего через дисперсию одного члена (или суммы), мне не очень понятно. Есть еще формула через математическое ожидание квадрата св, но тогда непонятно, как его найти.

[mihaild]

Kevsh в сообщении #1542141 писал(а):

Как тут воспользоваться этой формулой, учитывая то, что по идее мне нужно найти дисперсию этого среднего через дисперсию одного члена (или суммы), мне не очень понятно.

После того, как вы нашли дисперсию суммы, осталось найти дисперсию среднего через дисперсию суммы. Попробуйте с помощью этой формулы выразить дисперсию $\alpha \cdot \xi$ ($\alpha$ - константа) через дисперсию $\xi$.

-- 08.12.2021, 23:18 --

Kevsh в сообщении #1542141 писал(а):

мог найти дисперсию суммы просто умножением дисперсии одного члена на количество этих членов

То, что так можно сделать, как раз выводится из этой формулы. Можете вывести?

[Otta]

Kevsh
Коротко говоря, Вас всю страницу спрашивают, чему равна $D(c\xi)$, если $c$ - константа.

[Евгений Машеров]

Это похожие задачи - но разные. С прикладной точки зрения первая поясняет, зачем считать среднее арифметическое вместо того, чтобы взять единственный элемент выборки в качестве "типичного представителя", вторая поясняет, почему расчёт размерных цепей по максимальным отклонениям завышает результат.
А с точки зрения математики - есть дисперсия, и есть среднеквадратичное отклонение. Это величины связанные, но разные. Прежде всего - разных размерностей. И если обратить внимание на размерность дисперсии, то можно понять, как её величина меняется при умножении исследуемой случайной величины на константу.

[Евгений Машеров]

Kevsh в сообщении #1542136 писал(а):

Всё равно не очень понятно, откуда появляется квадрат.

(Оффтоп)

- Василий Иванович, никак не пойму - колесо у поезда круглое, рельса ровная, так что же стучит?
- Петька, ты формулу круга помнишь?
- Помню, Василий Иванович! Пи Эр квадрат!
- Вот этот квадрат-то и стучит!

[Kevsh]

Otta
ВОООТ!!! Спасибо большое, что-то я вообще про это забыл. Теперь всё понятно.

[Евгений Машеров]

Интересно, если для дисперсии использовать обозначение $D^2(\xi)$ вместо $D(\xi)$ - вероятность такой ошибки снизится?