2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение N=(z^3-y^3)/x^3-y^3) в натуральных числах
Сообщение02.12.2021, 15:25 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Предлагается доказать, что для любого натурального $N$ уравнение $N=\dfrac{z^3-y^3}{x^3-y^3}$ имеет решение в натуральных $x,y,z$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение N=(z^3-y^3)/x^3-y^3) в натуральных числах
Сообщение02.12.2021, 22:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Сводится к $N \alpha ^3+(1-N) \beta ^3=1.$ Похожая на недавнюю ситуация, только с кубами. Например так: $x=N-2,y=N+1,z=1-2N.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение N=(z^3-y^3)/x^3-y^3) в натуральных числах
Сообщение02.12.2021, 22:27 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Всё не так просто. Вернее, всё очень не просто. Одновременно $x,y,z$ натуральными для любого натурального $N$ у Вас не получаются.
А этого требует условие задачи.
Вы предъявили решение только в целых числах, а нужно в натуральных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение N=(z^3-y^3)/x^3-y^3) в натуральных числах
Сообщение02.12.2021, 22:28 


26/08/11
2057
Andrey A Правилно, но $1-2N$ не будет натуральным, как требует условие. Сложением найдутся и строго натуральные, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение N=(z^3-y^3)/x^3-y^3) в натуральных числах
Сообщение02.12.2021, 22:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
scwec, Shadow
А... ну да, ну да.

P.S. Вообще, несколько искусственное условие. Если уж в натуральных, хотелось бы так: $N=\dfrac{z^3 \mp y^3}{x^3 \mp y^3}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение N=(z^3-y^3)/x^3-y^3) в натуральных числах
Сообщение03.12.2021, 11:45 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Andrey A
Если рассмотреть уравнение с $+y^3$, то аналогично Вашему решению $x=2-N,y=N+1,z=2N-1$ - теперь ненатуральное $x$. Не годится.
Скажу, что минус выбран для упрощения ситуации. Там (замечание Shadow о сложении) можно проще получить нужный результат.
Однако, и это не так просто.
В качестве частного примера предлагаю рассмотреть случай $N=5$ и получить натуральные $x,y,z$ для исходного уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение N=(z^3-y^3)/x^3-y^3) в натуральных числах
Сообщение05.12.2021, 08:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Не знаю. Задача задела за живое, но методов на нее (кроме грузных затей из 6-7 переменных) у меня нет. Предположу, что случай $y=\pm 1$ при $x,z>0$ возможен только для некоторых $N$, в число которых $N=5$ не входит.

PS С помощью численных методов, описанных здесь, можно получить: $5=\dfrac{14981740833^3+10557^3}{8761375189^3+10557^3}$, но на самом деле это не пятерка, а четверка с $16$-ю девятками после запятой :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение N=(z^3-y^3)/x^3-y^3) в натуральных числах
Сообщение05.12.2021, 13:28 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Приведу решение для уравнения $5=\dfrac{z^3-y^3}{x^3-y^3}$

Код:
x = 746998959131663421368920425183141296071588753853066624959973433321485082092446783609247
y = 804052987214824707471578838867054814958743317963816588331610668009719015812039732597158
z = 169502563326726413687845094686554440544473398751310626395636037008307339891918486121123

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение N=(z^3-y^3)/x^3-y^3) в натуральных числах
Сообщение05.12.2021, 17:30 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
scwec в сообщении #1541717 писал(а):
PS С помощью численных методов, описанных здесь
, можно получить: $5=\dfrac{14981740833^3+10557^3}{8761375189^3+10557^3}$, но на самом деле это не пятерка, а четверка с $16$-ю девятками после запятой

Существует очень компактное решение в натуральных числах для уравнения $5=\dfrac{z^3+y^3}{x^3+y^3}$
$x=1195, y=659, z=2131$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение N=(z^3-y^3)/x^3-y^3) в натуральных числах
Сообщение07.12.2021, 14:50 


02/04/18
240
scwec в сообщении #1541717 писал(а):
Приведу решение для уравнения $5=\dfrac{z^3-y^3}{x^3-y^3}$

Найти такое решение перебором, как по мне, большая удача. С другой стороны, по нему видно, что явная параметризация при произвольном $N$ - задача тоже нетривиальная... Вероятно, проще будет доказать, что решение есть, не находя само решение.

По сути, задача эквивалентна доказательству того, что кривая $$x^3+(N-1)y^3=N$$ содержит рациональные точки в первой четверти, помимо $(1, 1)$. Если $N=n^3+1$, то есть решение $(n, \frac{1}{n})$, в противном случае - смотрим дальше.
Есть еще решение, указанное выше: $(\frac{1-2N}{N-2}, {N+1}{N-2})$. Но оно во второй четверти при $N>2$... (остается открытым вопрос решения при $N=2$). Можно отметить, что если соединить эти две точки, то получится касательная в точке $(1, 1)$.

Кривая имеет порядок, равный трем. Из литературы (например) известно, если такая кривая имеет одну рациональную точку (а мы видим, что даже две), то рациональные точки образуют коммутативную группу. Казалось бы - хорошо, значит, есть еще нетривиальные решения. Но попадут ли они в первую четверть - вот тут подвох.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение N=(z^3-y^3)/x^3-y^3) в натуральных числах
Сообщение07.12.2021, 20:38 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Dendr
Доказательство теоремы существования пока здесь не удалось. Но эту линию можно продолжить, привлекая для этого
исходное уравнение в форме Вейерштрасса, применение теоремы Пуанкаре-Гурвица о плотности рациональных точек на эллиптической кривой при определенных условиях и т.п.
Однако, в задаче имелось в виду вычисление $x,y,z$
(Кстати, Л.Д. Ландау сказал однажды что-то типа "Математиков хлебом не корми, только дай доказать теорему существования")
Но доказательство теоремы существования здесь приветствуется.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group