Уравнение N=(z^3-y^3)/x^3-y^3) в натуральных числах

[scwec]

Предлагается доказать, что для любого натурального $N$ уравнение $N=\dfrac{z^3-y^3}{x^3-y^3}$ имеет решение в натуральных $x,y,z$

[Andrey A]

Сводится к $N \alpha ^3+(1-N) \beta ^3=1.$ Похожая на недавнюю ситуация, только с кубами. Например так: $x=N-2,y=N+1,z=1-2N.$

[scwec]

Всё не так просто. Вернее, всё очень не просто. Одновременно $x,y,z$ натуральными для любого натурального $N$ у Вас не получаются.
А этого требует условие задачи.
Вы предъявили решение только в целых числах, а нужно в натуральных.

[Shadow]

Andrey A Правилно, но $1-2N$ не будет натуральным, как требует условие. Сложением найдутся и строго натуральные, конечно.

[Andrey A]

scwec, Shadow
А... ну да, ну да.

P.S. Вообще, несколько искусственное условие. Если уж в натуральных, хотелось бы так: $N=\dfrac{z^3 \mp y^3}{x^3 \mp y^3}.$

[scwec]

Andrey A
Если рассмотреть уравнение с $+y^3$, то аналогично Вашему решению $x=2-N,y=N+1,z=2N-1$ - теперь ненатуральное $x$. Не годится.
Скажу, что минус выбран для упрощения ситуации. Там (замечание Shadow о сложении) можно проще получить нужный результат.
Однако, и это не так просто.
В качестве частного примера предлагаю рассмотреть случай $N=5$ и получить натуральные $x,y,z$ для исходного уравнения.

[Andrey A]

Не знаю. Задача задела за живое, но методов на нее (кроме грузных затей из 6-7 переменных) у меня нет. Предположу, что случай $y=\pm 1$ при $x,z>0$ возможен только для некоторых $N$, в число которых $N=5$ не входит.

PS С помощью численных методов, описанных здесь, можно получить: $5=\dfrac{14981740833^3+10557^3}{8761375189^3+10557^3}$, но на самом деле это не пятерка, а четверка с $16$-ю девятками после запятой

[scwec]

Приведу решение для уравнения $5=\dfrac{z^3-y^3}{x^3-y^3}$

x = 746998959131663421368920425183141296071588753853066624959973433321485082092446783609247
y = 804052987214824707471578838867054814958743317963816588331610668009719015812039732597158
z = 169502563326726413687845094686554440544473398751310626395636037008307339891918486121123

[scwec]

scwec в сообщении #1541717 писал(а):

PS С помощью численных методов, описанных здесь
, можно получить: $5=\dfrac{14981740833^3+10557^3}{8761375189^3+10557^3}$, но на самом деле это не пятерка, а четверка с $16$-ю девятками после запятой

Существует очень компактное решение в натуральных числах для уравнения $5=\dfrac{z^3+y^3}{x^3+y^3}$
$x=1195, y=659, z=2131$

[Dendr]

scwec в сообщении #1541717 писал(а):

Приведу решение для уравнения $5=\dfrac{z^3-y^3}{x^3-y^3}$

Найти такое решение перебором, как по мне, большая удача. С другой стороны, по нему видно, что явная параметризация при произвольном $N$ - задача тоже нетривиальная... Вероятно, проще будет доказать, что решение есть, не находя само решение.

По сути, задача эквивалентна доказательству того, что кривая

$$x^3+(N-1)y^3=N$$

содержит рациональные точки в первой четверти, помимо $(1, 1)$. Если $N=n^3+1$, то есть решение $(n, \frac{1}{n})$, в противном случае - смотрим дальше.
Есть еще решение, указанное выше: $(\frac{1-2N}{N-2}, {N+1}{N-2})$. Но оно во второй четверти при $N>2$... (остается открытым вопрос решения при $N=2$). Можно отметить, что если соединить эти две точки, то получится касательная в точке $(1, 1)$.

Кривая имеет порядок, равный трем. Из литературы (например) известно, если такая кривая имеет одну рациональную точку (а мы видим, что даже две), то рациональные точки образуют коммутативную группу. Казалось бы - хорошо, значит, есть еще нетривиальные решения. Но попадут ли они в первую четверть - вот тут подвох.

[scwec]

Dendr
Доказательство теоремы существования пока здесь не удалось. Но эту линию можно продолжить, привлекая для этого
исходное уравнение в форме Вейерштрасса, применение теоремы Пуанкаре-Гурвица о плотности рациональных точек на эллиптической кривой при определенных условиях и т.п.
Однако, в задаче имелось в виду вычисление $x,y,z$
(Кстати, Л.Д. Ландау сказал однажды что-то типа "Математиков хлебом не корми, только дай доказать теорему существования")
Но доказательство теоремы существования здесь приветствуется.