Вопрос по критерию согласия Пирсона (хи-квадрат)

[F111mon]

Добрый день, проясните, пожалуйста, ситуацию, возникающую при применении критерия согласия Пирсона.
Смысл его в том, что для проверки гипотезы "случайная величина имеет тип распределения ____" мы:
1) разбиваем выборку на несколько интервалов
2) сравниваем эмпирическую частоту попадания в интервал для выборки и теоретическую вероятность попадания в интервал для распределения проверяемого типа.

Но, кроме вероятности попадания в интервалы "как в выборке" ведь есть вероятность того, что случайная величина вообще не попадет в границы выборки? Например, если выборка у нас в диапазоне 2-10, а проверяем мы показательный закон. С какой-то вероятностью случайная величина попадет в интервал (0,2), как мы можем ее игнорировать?
Какие источники ни нахожу - все игнорируют этот вопрос. Везде сравнивают частоты "внутри выборки", и не смущаются, что сумма вероятностей не 1.
Я бы считал, что крайние интервалы в выборке нужно искусственно расширить до бесконечности.
Буду благодарен за обсуждение, а еще больше - за ссылку на учебник, где эти вопросы упоминаются

[Александрович]

Вы зачем-то всё время отождествляете частоту с вероятностью. В чём заключается ваш вопрос так и не понял.

[Александрович]

F111mon в сообщении #1541465 писал(а):

Например, если выборка у нас в диапазоне 2-10, а проверяем мы показательный закон. С какой-то вероятностью случайная величина попадет в интервал (0,2), как мы можем ее игнорировать?

Никак. Для показательного закона она максимально вероятна для этого интервала. С чего вы взяли что она проигнорирована?

-- Пт дек 03, 2021 16:06:03 --

F111mon в сообщении #1541465 писал(а):

Я бы считал, что крайние интервалы в выборке нужно искусственно расширить до бесконечности.

В случае показательного закона влево расширить вряд ли удастся, а в право расширяется вполне естественно.

-- Пт дек 03, 2021 16:09:29 --

F111mon в сообщении #1541465 писал(а):

и не смущаются, что сумма вероятностей не 1.

С чего вы взяли? Сумма вероятностей всевозможных значений св всегда 1.

-- Пт дек 03, 2021 16:20:10 --

F111mon в сообщении #1541465 писал(а):

Например, если выборка у нас в диапазоне 2-10, а проверяем мы показательный закон.

Нужно в этом случае проверять показательный закон, ограниченный справа на уровне 2.

[мат-ламер]

F111mon в сообщении #1541465 писал(а):

Например, если выборка у нас в диапазоне 2-10, а проверяем мы показательный закон. С какой-то вероятностью случайная величина попадет в интервал (0,2), как мы можем ее игнорировать?

Ссылочку с игнорированием можно?

[F111mon]

мат-ламер в сообщении #1541541 писал(а):

F111mon в сообщении #1541465 писал(а):

Например, если выборка у нас в диапазоне 2-10, а проверяем мы показательный закон. С какой-то вероятностью случайная величина попадет в интервал (0,2), как мы можем ее игнорировать?

Ссылочку с игнорированием можно?

Вот, например, http://www.mathprofi.ru/kriteriy_soglasiya.html
Разбивается на интервалы значение выборки, и теоретические частоты подсчитываются для этих интервалов.
Вопрос о том, что происходит вне интервалов, не поднимается.
Или вот:
http://www.matem96.ru/primer/primer_terver7.shtml
Здесь потерялось аж 5%, но...
Есть печатные издания, но на них ссылку дать, даже если в сети, проблематично. Вы будете читать 60 страниц?

Но в целом, пожалуй, я свой вопрос снимаю. Есть книга, где оформлено правильно, а неверные примеры стоит квалифицировать как небрежность.

[marie-la]

Вроде классика - не игнорировать. Просто крайние интервалы расширяются.

[Александрович]

F111mon в сообщении #1541565 писал(а):

Есть книга, где оформлено правильно

Дайте ссылку.

[GAA]

Для простоты пусть случайная величина абсолютно непрерывная (т.е. имеет плотность в школьном смысле).

В случае проверки простой гипотезы разбивают на отрезки (обычно с одинаковой вероятностью принять случайной величине значение, принадлежащее отрезку) весь промежуток на котором плотность больше нуля.

В случае проверки сложной гипотезы находят состоятельные оценки параметров и строят (случайное) разбиение опять всего промежутка на котором плотность больше нуля.

Во многих учебниках есть этот материал. См., например, Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика, 1984.

По поводу сложной гипотезы см. статью Чибисов Д. М. Некоторые критерии типа хи-квадрат для непрерывных распределений// Теория вероятн. и ее примен., 1971, т. 16, вып. 1, с. 3–20

[Евгений Машеров]

Сумма вероятностей попадания в интервалы разбиения, разумеется, обязана быть равна единице. А границы интервалов не обязаны совпадать с границами выборки. В частности, для показательного распределения должен быть интервал, начинающийся от нуля. Даже если ни одного значения из выборки туда не попадает. И должен быть интервал, заканчивающийся в бесконечности. Интервалы не обязаны быть равной длины (на самом деле это не лучший выбор, с равной теоретической вероятностью лучше, просто нарезать на равные куски проще). И даже конечную длину иметь не обязаны.

[Александрович]

Евгений Машеров в сообщении #1541759 писал(а):

Сумма вероятностей попадания в интервалы разбиения, разумеется, обязана быть равна единице.

Для этого необходимо чтобы крайние интервалы были открытыми.

[Евгений Машеров]

Сказал бы "Спасибо, кэп!", но как раз для показательного достаточно одного интервала с бесконечной границей.

[Александрович]

Александрович в сообщении #1541481 писал(а):

F111mon в сообщении #1541465 писал(а):

Я бы считал, что крайние интервалы в выборке нужно искусственно расширить до бесконечности.

В случае показательного закона влево расширить вряд ли удастся, а в право расширяется вполне естественно.

F111mon в сообщении #1541465 писал(а):

Например, если выборка у нас в диапазоне 2-10, а проверяем мы показательный закон.

Нужно в этом случае проверять показательный закон, ограниченный слева на уровне 2, а справа на уровне 10.

[Otta]

F111mon в сообщении #1541465 писал(а):

Какие источники ни нахожу - все игнорируют этот вопрос. Везде сравнивают частоты "внутри выборки", и не смущаются, что сумма вероятностей не 1.
Я бы считал, что крайние интервалы в выборке нужно искусственно расширить до бесконечности.
Буду благодарен за обсуждение, а еще больше - за ссылку на учебник, где эти вопросы упоминаются

Это не то место, где принято вдаваться в частности и отличать одно распределение от другого. (На то критерий и непараметрический).
В качестве системы интервалов вполне допустимо (и даже полагается) брать разбиение всей вещественной оси на конечное число промежутков. Принципиально только накопление достаточного количества эмпирических и теоретических частот. На этом обычно заостряется внимание. И в первую очередь оно заостряется при выдвижении гипотезы о типе распределения. Вряд ли стоит предполагать, что распределение показательно, если гистограмма - нет. Впустую потраченное время.

[Александрович]

Мне понятен вопрос, поставленный топикстартёром. Я тоже с этим неоднократно сталкивался. Проблему решил введением ограничения функции распределения св.

[Otta]

Мне тоже понятен. Не вижу проблемы.
Гипотезу о показательном распределении выдвигать бы не стала, если очень похоже, но сдвинуто на два, то есть смысл вместо стандартного показательного брать распределение с плотностью $c\exp{(-c(x-2))}, \ x \ge 2$.