Последовательность

[TelmanStud]

Доброго времени суток!
Имеется последовательность
1)

$$a_1$$

2)

$$a_1+a_2+a_1a_1^*a_2+a_1 a_2 a_2^*$$

3)

$$(a_1+a_2+a_3)+(a_1a_1^*a_2+a_1a_1^*a_3+a_1 a_2 a_2^*+a_2 a_2^*a_3+a_1 a_3^*a_3+a_2 a_3^*a_3)+(a_1^* a_2a_3+a_1 a_2^*a_3+a_1 a_2a_3^*)+$$

$$a_1a_1^*a_2a_2^*a_3+a_1a_1^*a_2a_3^* a_3+a_1a_2^*a_2a_2^* a_3$$

4)

$$a_1+a_2+a_3+a_4+...$$

Вроде бы закономерность улавливается. Можно ли тут придумать формулу $n$-го члена или придумать какую нибудь рекурсивную формулу. Может существует генератор этой последовательности в каком либо другом виде?

[TOTAL]

$$t_{n+1}=\frac{1}{n!}\left(\frac{dP}{dx^n}\right)_{x=0},\;\; P=\prod\limits_{i = 1}^{n+1}(x+a_i)(1+xa_i^*)$$

[TelmanStud]

TOTAL
Красиво! Спасибо! Но как Вы это сделали? У меня еще одна такого рода последовательность хотелось бы самому.

[TOTAL]

TelmanStud в сообщении #1541598 писал(а):

Но как Вы это сделали? У меня еще одна такого рода последовательность хотелось бы самому.

Сидел и вроде бы улавливал закономерность. Успехов в самостоятельной работе над ещё одной такого рода!

[TelmanStud]

Понятно. Вроде получилось. Спасибо еще раз.

[svv]

TelmanStud в сообщении #1541598 писал(а):

Но как Вы это сделали?

Позвольте мне предположить. Вынесем за сумму множитель $p_n=\prod\limits_{k=1}^n a^*_k$ и обозначим $a_{n+k}=(a^*_{k})^{-1}, k=1...n$. Тогда
$t_n=p_n e_{n+1}(a_1,...,a_{2n}),$
тут $e_{n+1}(...)$ — элементарный симметрический многочлен степени $n+1$ от $2n$ переменных.
Например, $t_2=a_1^* a_2^*(a_1 a_3 a_4+a_2 a_3 a_4+a_1 a_2 a_4+a_1 a_2 a_3)=p_2 e_3(a_1,a_2,a_3,a_4)$
А для таких многочленов есть формула (см. тут или тут)
$\sum\limits_{k=0}^{\infty} e_k(a_1, \ldots, a_n)x^k=\prod\limits_{k=1}^n(1+x a_k)$

[TelmanStud]

svv в сообщении #1541640 писал(а):

$\sum\limits_{k=0}^{\infty} e_k(a_1, \ldots, a_n)x^k=\prod\limits_{k=1}^n(1+x a_k)$

Спасибо! Да, это что то вроде теоремы Виета.
Продолжая тему... Если у меня (на примере $n=2$) теперь дополнительно коэффициенты

$$A_1+A_2+\kappa_{12}A_1A_1^*A_2+\kappa_{21}A_1 A_2 A_2^*,$$

где например $\kappa_{12}=(k_1^*-k_2)^2$ при $\kappa_{21}=(k_1-k_2^*)^2$, $k_j$ какие то комплексные числа.
Это уже не симметричный многочлен: оно не отображается в себя при $A_1\leftrightarrow A_2$.
Остается ли возможность построения производящей функции? Ведь $\kappa_{ij}$ обладают какой то симметрией.