Связь формул ОТО и классической траектории

[kzv]

Здравствуйте.
Помогите пожалуйста разобраться с готовыми формулами для траектории движения в центральном гравитационном поле.
В классической механике есть формула
$\varphi=\int \frac{Ldr}{r^2\sqrt{2m(E-U)-\frac{L^2}{r^2}}}$

В ОТО есть подобная формула, в википедии она такая:
$\varphi=\int \frac{dr}{r^2\sqrt{\frac{E^2}{c^2L^2}-(1-\frac{r_s}{r})(\frac{m^2c^2}{L^2}+\frac{1}{r^2})}}$

Я думаю, что классическая формула выполняется для не очень больших масс, то есть для $r_s << r$. Тогда получим:
$\varphi\approx\int \frac{Ldr}{r^2\sqrt{\frac{E^2}{c^2}-m^2c^2-\frac{L^2}{r^2}}}$

Если тут нет моей ошибки, то сравнивая полученную формулу с классической получаем:
$\frac{E^2}{c^2}-m^2c^2 = 2m(E-U)$

И вот тут я перестаю что-либо понимать дальше... По логике же получается тогда:
$\frac{E^2}{c^2} = 2mE$
$m^2c^2 = 2mU$

Последняя формула мне совсем не нравится, потому что потенциальная энергия должна зависеть от $r$, а у меня она постоянная получилась ((
Явно где-то в рассуждениях ошибка, но где?

[Geen]

kzv в сообщении #1541263 писал(а):

По логике же получается тогда

Это неправильная "логика".

[kzv]

А в книге Вейнберга выводится та же формула в общем виде, но в системе единиц где скорость света равна единице. Тоже не могу от этой формулы к классической прийти или хотя бы к той, которая в википедии для ОТО:

$\varphi=\int \frac{Jdr}{r^2\sqrt{\frac{1}{AB}-\frac{E}{A}-\frac{J^2}{Ar^2}}}$

$A=B^{-1}=(1-\frac{r_s}{r})^{-1}$

То есть для малой массы получается:

$\varphi=\int \frac{Jdr}{r^2\sqrt{1-E-\frac{J^2}{r^2}}}$

[Geen]

Напишите, пожалуйста, что обозначают все эти буквы в приведённых формулах.

[kzv]

Geen в сообщении #1541306 писал(а):

Напишите, пожалуйста, что обозначают все эти буквы в приведённых формулах.

Это очень хороший вопрос
Потому что в источниках этих формул, сведения об этих буквах весьма скудные. Приходится самому догадываться. Кое-где я вроде бы догадался, кое-где нахожусь в недоумении...

Из соображений размерности и аналогий, думаю, что в первой формуле из википедии, $L$ - это момент импульса. В классическом случае
$L=[\vec{r}\times \vec{p}]$

В ЛЛ-т.1 момент обозначается буквой $M$, но я обозначил тут как в википедии, чтобы какое-никакое единообразие соблюсти.

Опять же, исключительно по соображениям размерности, полагаю, что $Е$ - это полная энергия в формуле орбиты из википедии, а $U$ - это потенциальная энергия поля, в интересующем меня случае - энергия гравитационного поля.
Для малых масс, в центрально-симметричном случае, эта энергия обратно пропорциональна расстоянию:
$U\sim\frac{1}{r}$

В последней приведенной формуле из книжки Вейнберга, $J$ - это некий интеграл движения, который по непонятным причинам в книжке называется угловым моментом единицы массы (формула 8.4.11, стр.202). Строго говоря, хотелось бы видеть обоснование, но в книге я этого не нашел.
$r^2\frac{d\varphi}{dp}=J$
Про величину $E$ - вообще не сказано ничего, кроме того, что она - это тоже интеграл движения (формула 8.4.13 стр.202). Видимо читателю следует самому, из обозначения догадаться, что $Е$ - это полная энергия тела в системе единиц где скорость света равна единице.

[DimaM]

kzv в сообщении #1541313 писал(а):

Видимо читателю следует самому, из обозначения догадаться, что Е - это полная энергия тела в системе единиц где скорость света равна единице.

Есть мнение, что в классической и релятивистской формулах буквой $E$ обозначены разные величины .

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны отдельные обозначения (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

-- 02.12.2021, 10:24 --

kzv в сообщении #1541313 писал(а):

В последней приведенной формуле из книжки Вейнберга, $J$ - это некий интеграл движения, который по непонятным причинам в книжке называется угловым моментом единицы массы (формула 8.4.11, стр.202). Строго говоря, хотелось бы видеть обоснование, но в книге я этого не нашел.
$r^2\frac{d\varphi}{dp}=J$

Там же сказано, что "параметр $p$ почти равен координатному времени $t$". Ну и очевидно предполагается, что перед разборками с задачей в ОТО читающий уже успел ознакомиться с той же задачей в классической механике, поэтому без специальных подсказок опознает интеграл площадей.

kzv в сообщении #1541313 писал(а):

Про величину $E$ - вообще не сказано ничего, кроме того, что она - это тоже интеграл движения (формула 8.4.13 стр.202). Видимо читателю следует самому, из обозначения догадаться, что $Е$ - это полная энергия тела в системе единиц где скорость света равна единице.

Это неверно (оба утверждения), см. абзац под первыми двумя формулами на стр.203. Ну и аналогичное предыдущему замечание - по виду получившегося интеграла энергии догадаться о смысле $E$ можно и самому.

[kzv]

Да, действительно, упустил из виду абзац на странице 203. Там прямо говорится, что "величина $\frac{1-E}{2}$ выполняет роль энергии, приходящейся на единицу массы". О какой именно энергии речь - не уточняется, но, судя по всему, о полной. С этим разобрался.
Все же мне хотелось бы получить классическую формулу из релятивистской с помощью различных приближений и допущений. Пока не очень получается, хотя кое-что начинает проясняться...

Итак, судя по всему, мое допущение в первом посте топика $r_s=0$ - слишком сильное. Если радиус Шварцшильда нулевой, то никакого гравитационного поля не будет (в данном случае) и, соответственно, потенциальная энергия $U$ - может быть произвольной постоянной, в том числе может и удовлетворять $m^2c^2=2mU$ (при условии постоянной массы конечно). Это можно назвать "нулевым приближением".

Чтобы учесть влияние поля, придется считать радиус $r_s\ne0$. Тогда запишем формулу ОТО в виде:
$\varphi=\int {\frac {Ldr} {r^2 \sqrt{\frac{E^2}{c^2}-m^2c^2-\frac{L^2}{r^2}-\frac{r_s}{r} m^2c^2-\frac{r_sL^2}{r^3}} }}$

Это общая формула, но для малой гравитации, в первом приближении, занулим теперь член, содержащий $\frac{r_s}{r^3}$:
$\varphi=\int {\frac {Ldr} {r^2 \sqrt{\frac{E^2}{c^2}-m^2c^2-\frac{r_s}{r} m^2c^2-\frac{L^2}{r^2}} }}$

Сравнивая полученную формулу с классической видно, что для малых скоростей и малых масс должно выполняться:
$\frac{E^2}{c^2}-m^2c^2-\frac{r_s}{r} m^2c^2 = 2m(E-U)$

Осталось совсем немного: перейти в левой части последней формулы к малым скоростям.
Это видимо нужно делать, раскладывая в ряд Тейлора релятивистское выражение для массы:
$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}$

Я в правильном направлении двигаюсь или опять где-то что-то упустил?

[sergey zhukov]

kzv
Думаю, это лишнее. Возьмите самую первую классическую формулу и выразите потенциальную энергию $U$, как разность полной энергии $E$ (константа) и кинетической энергии $\frac{mv^2}{2}$. Вместо $2m(E-U)$ будем тогда иметь просто $m^2u^2$.
Теперь подставьте в аналогичную релятивистскую формулу ОТО вместо $E$ выражение для полной энергии $\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$, используйте приблизительную формулу и получите классический результат.

[kzv]

Что-то не получается с первым приближением тоже.
Если верна формула:

$\frac{E^2}{c^2}-m^2c^2-\frac{r_s}{r} m^2c^2 = 2m(E-U)$

То из нее сразу следует, что потенциальная энергия $U=\frac{r_s m c^2}{2r}$
Соответственно полная энергия тела

$E=\frac{\varepsilon^2}{2m c^2}-\frac{mc^2}{2}$ (для удобства переобозначил в правой части $E\to\varepsilon$)

С одной стороны, вроде бы все нормально в последней формуле, даже в википедии так написано... Но, если правую часть привести к общему знаменателю, то там получится нечто... сильно напоминающее классическую кинетическую энергию!

$E=\frac{\varepsilon^2-m^2c^4}{2m c^2}=\frac{p^2c^2}{2mc^2}=\frac{p^2}{2m}$

Что получается? Полная энергия равна кинетической?
Где ошибка?

[Geen]

kzv в сообщении #1541338 писал(а):

Все же мне хотелось бы получить классическую формулу из релятивистской

А что именно Вы хотите получить? "зависимость потенциала" от радиуса?... Брать для этого уравнение орбиты выглядит не самым прямым способом.

[kzv]

Geen в сообщении #1541395 писал(а):

kzv в сообщении #1541338 писал(а):

Все же мне хотелось бы получить классическую формулу из релятивистской

А что именно Вы хотите получить? "зависимость потенциала" от радиуса?... Брать для этого уравнение орбиты выглядит не самым прямым способом.

Я хочу продемонстрировать то, что конкретная релятивистская формула превращается в конкретную классическую формулу при некоторых предельных переходах.
Так же, как мне когда-то демонстрировали например связь формул для энергии:
$E=\lim\limits_{\frac{V}{c}\to0}\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}=mc^2+\frac{mV^2}{2}$

или сложение скоростей:
$V_x=\lim\limits_{\frac{V}{c}\to0}\frac{V^\prime+V}{1+\frac{VV^\prime}{c^2}}=V^\prime+V$

и т.д...
Вот я и хочу получить выражение (с доказательством):
$$\varphi=\lim\limits_{X \to Y}\int \frac{dr}{r^2\sqrt{\frac{E^2}{c^2L^2}-(1-\frac{r_s}{r})(\frac{m^2c^2}{L^2}+\frac{1}{r^2})}}=\int \frac{Ldr}{r^2\sqrt{2m(E-\frac{\operatorname{const}}{r})-\frac{L^2}{r^2}}}$


Пока даже не очень понимаю: что в этой формуле $X$ и что $Y$

[artur_k]

kzv в сообщении #1541338 писал(а):

$\varphi=\int {\frac {Ldr} {r^2 \sqrt{\frac{E^2}{c^2}-m^2c^2-\frac{L^2}{r^2}-\frac{r_s}{r} m^2c^2-\frac{r_sL^2}{r^3}} }}$

Хочу обратить ваше внимание на ошибку в знаках при слагаемых с $r_s$ под корнем.

[sergey zhukov]

В формуле

$\varphi=\int \frac{Ldr}{r^2\sqrt{2m(E-U)-\frac{L^2}{r^2}}}$

величина $2m(E-U)$ - это просто квадрат импульса.

Если в приблизительной формуле:

$\varphi\approx\int \frac{Ldr}{r^2\sqrt{\frac{E^2}{c^2}-m^2c^2-\frac{L^2}{r^2}}}$

За $E$ принять $E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$, то вместо $\frac{E^2}{c^2}-m^2c^2$ тоже получаем квадрат имульса. Так что на этой ступени разногласий вроде нет.

Но если не пренебрегать слагаемым $\frac{r_s}{r}m^2c^2$ (да, оно должно быть с плюсом, и это правильно, т.к. потенциальная энергия отрицательна), то так гладко уже не получается. Пренебрегать им, похоже, действительно нельзя, т.к. оно имеет то же порядок, что и разность $\frac{E^2}{c^2}-m^2c^2$.

Похоже, что $E$ в формуле $\varphi=\int {\frac {Ldr} {r^2 \sqrt{\frac{E^2}{c^2}-m^2c^2-\frac{L^2}{r^2}+\frac{r_s}{r} m^2c^2+\frac{r_sL^2}{r^3}} }}$ - это не $E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$.

С другой стороны, скажем, для тела с нулевой орбитальной энергией имеем $\frac{2GM}{r} = v^2$. Если мы пренебрегаем отношениями квадратов скоростей, то должны пренебречь и отношениями соответствующих радиусов.