2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Посчитать предел
Сообщение01.12.2021, 00:21 


30/11/21
2
Короче есть предел $\lim\limits_{x\to0}   (\frac{x\cdot e^x + 1 }{x\cdot \pi^x + 1})^{\frac{1}{x^2}} $ его нужно посчитать ручками не используя Тейлора и Лопиталя имеем следующее:

есть вот такое следствие из зам. предела $\lim\limits_{x\to0}   \frac{ a^x -1 }{x\ln(a) }=1 $ тогда делаем так: $\lim\limits_{x\to0}   (\frac{x\cdot e^x + 1 }{x\cdot \pi^x + 1})^{\frac{1}{x^2}} \Rightarrow   (\frac{x\cdot e^x -x +x+ 1 }{x\cdot \pi^x -x +x+ 1})^{\frac{1}{x^2}} \Rightarrow  (\frac{\frac{x^2(e^x -1)}{x} +x+ 1 }{\frac{x\cdot \ln(\pi) }{x\cdot \ln(\pi)}\cdot x\cdot(\pi^x -1) +x+ 1})^{\frac{1}{x^2}}  $

заменим теперь $   \frac{ e^x -1 }{x } $ на a и $   \frac{ \pi^x -1 }{x\ln(\pi) } $ на b, очевидно что a и b при $\lim\limits_{x\to0}$ стремятся к 1 тк следствие выше

Тогда имеем: $(\frac{x^2 a +x+ 1 }{x^2 b \ln(\pi) +x+ 1})^{\frac{1}{x^2}}$ поделим верх на низ получим $(\frac{1}{x^2 b \ln(\pi) +x+ 1}+x^2 [a-b \ln(\pi)])^{\frac{1}{x^2}}$

пусть теперь $\frac{1}{x^2 b \ln(\pi) +x+ 1    } $ это с тк при $ x \to 0$ $   $ $\frac{1}{x^2 b \ln(\pi) +x+ 1    } = 1 $ то с также стремится к 1

получается $( c +x^2 [a-b \ln(\pi)])^{\frac{1}{x^2}}$ и тк a,b,c стремятся к 1 то имеем $(1 +x^2 [1- \ln(\pi)])^{\frac{1}{x^2}}$

А это в свою очередь равно простому $ \frac{e}{\pi}$ и это вроде бы и есть правильный ответ НО тут у меня встает вопрос имею ли я право считать a,b,c единицей (т.е. брать пределы внутри пределов? я не знаю как сформулировать)

И если не имею то подскажите как по другому решить с условиями выше

 Профиль  
                  
 
 Re: Посчитать предел
Сообщение01.12.2021, 03:19 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Dogya в сообщении #1541176 писал(а):
НО тут у меня встает вопрос имею ли я право считать a,b,c единицей (т.е. брать пределы внутри пределов? я не знаю как сформулировать)

Нормально сформулировалось. Внутри выражений типа (слагаемое 1+ слагаемое 2) в бог весть какой степени переходить к пределу в сумме вообще-то нельзя. По сути, Вы заменяете на эквивалентные. В суммах это не делается, только в частных и произведениях.

Dogya в сообщении #1541176 писал(а):
И если не имею то подскажите как по другому решить с условиями выше

Замечательный предел, выделить целую часть (единицу), дальше вопрос техники.

 Профиль  
                  
 
 Re: Посчитать предел
Сообщение01.12.2021, 21:22 


14/02/20
872
В случае $U\to 1 \ \ V\to\infty$ при $x\to a$ можно воспользоваться формулой: $$\huge\lim\limits_{x\to a}U^V=e^{\lim\limits_{x\to a}(U-1)\cdot V},$$ которая сразу следует из второго замечательного предела.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: B@R5uk


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group