Многочлен

[daogiauvang]

Данно многочлен $P(x)$ с четной степенью.
Доказать что, существует натуральное число $k$ причем $P(x)+P(x+1)+...+P(x+k)$ не имеет ни решений.

[ewert]

Достаточно доказать, что $P(x-k)+P(x-k+1)+\dots+P(x+k-1)+P(x+k)$ не будет иметь корней. Воспользовавшись тем, что минимальные значения суммы крайних слагаемых $P(x-k)+ P(x+k)$ оказываются больше некоторого положительного числа, начиная с некоторого $k$.

(собственно, утверждение верно для любой непрерывной функции, неограниченно растущей на обеих бесконечностях)

[daogiauvang]

ewert писал(а):

Достаточно доказать, что $P(x-k)+P(x-k+1)+\dots+P(x+k-1)+P(x+k)$ не будет иметь корней. Воспользовавшись тем, что минимальные значения суммы крайних слагаемых $P(x-k)+ P(x+k)$ оказываются больше некоторого положительного числа, начиная с некоторого $k$.

(собственно, утверждение верно для любой непрерывной функции, неограниченно растущей на обеих бесконечностях)

Но Я совсем не понял что ты сделал
Мне надо доказать, что [math]$P(x-k)+P(x-k+1)+\dots+P(x+k-1)+P(x+k)$
Объясните мне детально.
Спасибо раннее

[ewert]

На бесконечностях многочлен возрастает. С ростом $k$ два крайних слагаемых раздвигаются по горизонтали, а поскольку каждое из них ограничено снизу -- рано или поздно сумма этой пары окажется ограниченной снизу положительным числом $a$, и дальше это число будет лишь увеличиваться. Начиная с этого порога, при увеличении $k$ в общую сумму будут добавляться слагаемые, равномерно не меньшие $a$, т.е. с ростом $k$ эта сумма будет увеличиваться на некоторую гарантированную величину. А поскольку сумма предыдущих (до порога) тоже хоть чем-то, но ограничена снизу -- рано или поздно общая сумма станет строго положительной. (Всё это легко оформляется.)

[TOTAL]

1) При достаточно большом $n$ имеем $P(x)+P(x+n) > 0$. Это очевидно.
2) Осталось составить сумму из $n$ слагаемых:

$$\Big( P(x)+P(x+n) \Big) + \Big( P(x+1)+P(x+n+1) \Big)+ \cdots + \Big( P(x+n-1)+P(x+2n-1) \Big) >0$$

[ewert]

Только без предварительного сдвига оформление всё же как-то неуютно.