Термех. Динамика.Период малых вертикальных колебаний.

[ysergich]

Однородный конус высотой $H$ и плотностью $\gamma_1$ погружен в жидкость плотности $\gamma_2 (\gamma_2>\gamma_1)$, так что его вершина находится над поверхностью жидкости, а основание параллельно этой поверхности. Определить период собственных вертикальных колебаний конуса, пренебрегая сопротивлением жидкости.
Обозначаю погруженную часть как $V_1$ (усеченный конус) с высотой $h$. Смещение за $x$, изменение высоты при *всплывании* конуса $h-x$.
Равновесие:
$mg=\gamma_2gV_1, V_1=\frac {1}{3}\Pih(R^2+Rr+r^2)$
Далее переходим к динамике:
$mx''=mg-\gamma_2gV_2, V_2=\frac {1}{3}\pi(h-x)(R^2+Rr_1+r_1^2)$
Что делать дальше не знаю, пытался найти $x$ и подставить начальные условия, получается какая то фигня. Пробовал выражать радиусы через тангенс угла у вершины, только толку ноль.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

-- 30.11.2021, 12:40 --

Далее надо выразить $V_1$ и $V_2$ (зачем, кстати, делать два разных обозначения для одной величины?) через $x$, а также найти $h$ в положении равновесия. Затем найти суммарную силу $F(x)$, действующую на конус, как функцию $x$, разложить ее в степенной ряд (если само раньше не разложится) и найти коэффициент при линейном члене. Что это такое, знаете?

[ysergich]

Pphantom в сообщении #1541077 писал(а):

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

-- 30.11.2021, 12:40 --

Далее надо выразить $V_1$ и $V_2$ (зачем, кстати, делать два разных обозначения для одной величины?) через $x$, а также найти $h$ в положении равновесия. Затем найти суммарную силу $F(x)$, действующую на конус, как функцию $x$, разложить ее в степенной ряд (если само раньше не разложится) и найти коэффициент при линейном члене. Что это такое, знаете?

Последнее не особо понял

[DimaM]

ysergich
Ежели обозначить объем всего конуса $V_0$, высоту его $H$, высоту торчащего из воды маленького конуса $h$, то объем погруженной части $V_1$ очевидным образом выразится как

$$V_1=V_0\left(1-\left(\frac{h}{H}\right)^3\right).$$

В положении равновесия $\gamma_1V_0=\gamma_2V_1$, а суммарная сила нулевая. При смещении конуса из положения равновесия достаточно учесть изменение только выталкивающей силы, причем маленький дополнительный погрузившийся в жидкость или вылезший наружу объемчик вполне можно считать цилиндром.

Вообще, задача на редкость дурацкая. Во-первых, такое положение равновесия с горизонтальным основанием вполне может быть неустойчивым. Во-вторых, даже в идеальной жидкости в уравнениях возникает присоединенная масса, которая порядка массы конуса.

[Pphantom]

ysergich в сообщении #1541087 писал(а):

Последнее не особо понял

Как период (или циклическая частота) гармонических колебаний связан с другими параметрами системы?

DimaM в сообщении #1541091 писал(а):

Во-первых, такое положение равновесия с горизонтальным основанием вполне может быть неустойчивым.

Вроде и будет. Задача действительно из серии "пренебрежем всем, о чем автор задачи не подумал".

[DimaM]

Pphantom
Первая цитата не моя

[Pphantom]

(DimaM)

Мда, опять не на ту кнопку нажал... спасибо, поправил.

[ysergich]

Pphantom в сообщении #1541092 писал(а):

ysergich в сообщении #1541087 писал(а):

Последнее не особо понял

Как период (или циклическая частота) гармонических колебаний связан с другими параметрами системы?

DimaM в сообщении #1541091 писал(а):

Во-первых, такое положение равновесия с горизонтальным основанием вполне может быть неустойчивым.

Вроде и будет. Задача действительно из серии "пренебрежем всем, о чем автор задачи не подумал".

Буду очень признателен, если вы напишите хотя бы начало решения, потому что совсем запутался

[Pphantom]

ysergich, вам уже заданы вполне конкретные вопросы. Вы можете на них ответить?\

P.S. И не надо при ответе цитировать все сообщение целиком. Выделяете нужный фрагмент, нажимаете кнопку "Вставка" в правом нижнем углу цитируемого сообщения.

[DimaM]

ysergich в сообщении #1541096 писал(а):

Буду очень признателен, если вы напишите хотя бы начало решения, потому что совсем запутался

Найдите для начала высоту погруженной (или торчащей) части.

Уравнение динамики нужно будет привести к виду

$$\ddot{x}+\omega^2x=0.$$

[TOTAL]

ysergich в сообщении #1541096 писал(а):

Далее переходим к динамике:
$mx''=mg-\gamma_2gV_2, V_2=\frac {1}{3}\pi(h-x)(R^2+Rr_1+r_1^2)$
Буду очень признателен, если вы напишите хотя бы начало решения, потому что совсем запутался

Объём $V=kH^3$
К динамике:
$\gamma_1kH^3x''=-g\gamma_1kH^3+g\gamma_2k(H^3-x^3)$

[ysergich]

Pphantom в сообщении #1541098 писал(а):

ysergich, вам уже заданы вполне конкретные вопросы. Вы можете на них ответить?\

Ну если не отвечаю, значит не могу.

[мат-ламер]

Для контроля ваших вычислений. Возвращающая сила (та, что в правой части второго закона Ньютона) пропорциональна площади сечения конуса поверхностью, совпадающей с поверхностью воды. Для начала неплохо её подсчитать отдельно.

[Pphantom]

ysergich в сообщении #1541195 писал(а):

Ну если не отвечаю, значит не могу.

Тогда начните с выяснения ответов. Это база для решения подобных задач, без нее пытаться делать что-либо бесполезно.