Решение уравнения

[.:Артём:.]

Привет всем!
Есть уравнение % MathType!MTEF!2!1!+- % feaafaart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVCI8FfYJH8YrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbb % a9q8WqFfeaY-biLkVcLq-JHqpepeea0-as0Fb9pgeaYRXxe9vr0-vr % 0-vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamaapehabaGaam % OzaiaacIcacaWG4bGaaiykaiaadsgacaWG4baaleaacqGHsislcqGH % EisPaeaacqaHvpGAa0Gaey4kIipakiabg2da9iabeg7aHjaacYcaca % aMc8UaeqySdeMaeyypa0Jaci4yaiaac+gacaWGUbGaam4Caiaadsha % aaa!4DE9! \[ \int\limits_{ - \infty }^\varphi {f(x)dx} = \alpha ,\,\alpha = {\mathop{\rm co}\nolimits} nst \]. Требуется найти при каком \varphi интеграл равне \alpha. Подскажите, пожалуйста, какие методы используются для решения подобных уравнений? Куда смотреть?

[Henrylee]

А что особенного-то в этом уравнении? Если первообразная есть, то и решайте относительно нее численно или аналитически (если функция позволяет), иначе - только численно.

[.:Артём:.]

Особенного - функция f(x) произвольная, такая что f(x) \ge 0 и

\[ \int\limits_{ - \infty }^\infty {f(x)dx = 1} \]

. По поводу численных методов, какие методы можно применить относительно этой задачи? В какой раздел численных методов смотреть?

[Alexiii]

пахнет теорией вероятностей тут

[.:Артём:.]

именно.

[Алексей К.]

.:Артём:. в сообщении #154091 писал(а):

В какой раздел численных методов смотреть?

Почти уверен, что нет такого раздела. Есть для $F(x)=0$. При этом надо понять характер функции $F(\varphi)=\int\limits_{ - \infty }^\varphi {f(x)dx}-\alpha$. Монотонна ли она, периодична ли (не дай бог), осциллирует ли (не приведи господи), ещё какие-то штуки. А универсальный численный метод --- это не предмет науки о численных методах. Это предмет программирования --- составить алгоритм для разумного перебора всех известных численных методов, когда заказчик ничего не рассказывает о своей функции.

Так мне кажется...

Добавлено спустя 24 минуты 22 секунды:

Если, например, Ваша $f(x)$ знакопостоянна, то $F(\varphi)$ --- монотонна, и численные методы --- простейшие.

[ewert]

ну да, вероятность, подсчёт квантилей. Где-то с год назад приходилось возиться. Дёшево не считается. Если надо найти конкретное значение, то можно просто методом Ньютона в сочетании с пошаговым поиском, это -- просто, но долго. Если нужно создать эффективную процедуру -- то, наверное, максимально точно подсчитать какие-нибудь узловые значения и построить по ним равномерную аппроксимацию (ну или Паде какого-нибудь).

[Henrylee]

К тому же задача облегчена до максимума тем, что решение существует и единственно (естественно, при $\alpha\in(0,1)$)