Аналит.геом., уравнение биссекторной плоскости

[Alexander__]

Пожалуйста, подскажите правильно ли решена задача:

-----

Составить уравнение биссекторной плоскости острого двугранного угла между плоскостями $x-z=5$ и $3x+5y+4z=0$.

-----

Способ #1:

Нормальные векторы плоскостей $\vec{n}_1=(1,0,-1)$ и $\vec{n}_2=(3,5,4)$ имеют длины $\sqrt{2}$ и $5 \sqrt{2}$ соответственно. Умножим первый вектор на $5$, чтобы получить векторы одинаковой длины.

Угол между векторами $\vec{n}_1$ и $\vec{n}_2$:

$$\arccos \frac{(\vec{n}_1, \vec{n}_2)}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|} = \arccos \frac{-1}{\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} } $$

Т.е. угол тупой, поэтому нормальный вектор искомой плоскости:

$$ \vec{n}_3 = 5 \vec{n}_1 - \vec{n}_2 = (2,-5,-9) $$

Уравнение искомой прямой $2x-5y-9z+D=0$.

Для поиска $D$ найдём какую-нибудь точку на искомой плоскости. Прямая пересечения исходных плоскостей принадлежит плоскости. Найдём какую-нибудь точку $M$ на прямой, решив систему уравнений:

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x-z=5 \\ 3x+5y+4z=0 \\ \end{array} \right. $$

Например, $M(0,4,-5)$. Тогда $D$ найдём из уравнения $2\cdot0 - 5\cdot4 - 9 \cdot (-5) + D=0 \implies D=-25$.

Ответ: $2x-5y-9z-25=0$

-----

Способ #2:

Для каждой точки биссекторной плоскости расстояние до 2х плоскостей одинаково, поэтому:

$$ \frac{|x-z-5|}{\sqrt{2}} =\frac{|3x+5y+4z|}{5 \sqrt{2}} $$

Теперь нужно раскрыть модули. Зная ответ способом #1, модули нужно раскрыть с одинаковым знаком. Но я не понимаю как это следуюет из того, что векторы нормали образуют тупой угол. Объясните?

[artempalkin]

Опять же, не хотите использовать уравнение "пучка плоскостей"? И чтобы выделить нужную плоскость, можно, например, рассмотреть условие равенства углов между нормалью к искомой плоскости и обеими нормалями к данным плоскостям.

-- 27.11.2021, 23:59 --

Alexander__ в сообщении #1540833 писал(а):

Зная ответ способом #1, модули нужно раскрыть с одинаковым знаком.

Пусть у вас есть плоскость $Ax+By+Cz+D=0$ и какая-то точка $(x_0,y_0,z_0)$. Тогда знак выражения $Ax_0+By_0+Cz_0+D$ определяется тем, с какой стороны от плоскости лежит точка.
Соответственно, строго говоря, чтобы раскрыть модули с правильным знаком, вам нужно взять какую-то точку из области острого угла, подставить ее в оба уравнения плоскости и посмотреть на знак обоих выражений. Далее раскрывать модули соответственно этому знаку.

[iifat]

А что, собственно, зависит от тупизны или остроумия узла? В задаче, кстати, точно делимый угол не указан, стало быть, решением будут две плоскости.

[artempalkin]

iifat в сообщении #1540846 писал(а):

точно делимый угол не указан

Указан :)

Alexander__ в сообщении #1540833 писал(а):

острого двугранного угла

[iifat]

Виноват. Проглядел.

[Alexander__]

artempalkin в сообщении #1540844 писал(а):

Опять же, не хотите использовать уравнение "пучка плоскостей"? И чтобы выделить нужную плоскость, можно, например, рассмотреть условие равенства углов между нормалью к искомой плоскости и обеими нормалями к данным плоскостям.

Согласен. Рабочий вариант.

artempalkin в сообщении #1540844 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1540833 писал(а):

Зная ответ способом #1, модули нужно раскрыть с одинаковым знаком.

Пусть у вас есть плоскость $Ax+By+Cz+D=0$ и какая-то точка $(x_0,y_0,z_0)$. Тогда знак выражения $Ax_0+By_0+Cz_0+D$ определяется тем, с какой стороны от плоскости лежит точка.
Соответственно, строго говоря, чтобы раскрыть модули с правильным знаком, вам нужно взять какую-то точку из области острого угла, подставить ее в оба уравнения плоскости и посмотреть на знак обоих выражений. Далее раскрывать модули соответственно этому знаку.

Как вам такое решение. Так как координаты векторов $\vec{n}_1$ и $\vec{n}_2$ взяты с теми же знаками, что коэффициенты в уравнениях прямых, то оба направлены в положительные полупространства. Угол между $\vec{n}_1$ и $\vec{n}_2$ тупой, т.к. скалярное произведение отрицательно. Значит двугранный угол острый. Значит модули нужно раскрыть с одинаковыми знаками.

[artempalkin]

Alexander__ в сообщении #1542279 писал(а):

коэффициенты в уравнениях прямых

В уравнениях плоскостей, вы имеете в виду?

Alexander__ в сообщении #1542279 писал(а):

Так как координаты векторов $\vec{n}_1$ и $\vec{n}_2$ взяты с теми же знаками, что коэффициенты в уравнениях прямых

Так знаки коэффициентов в уравнениях плоскостей мы можем менять произвольным образом (домножая уравнения плоскости на $-1$), то есть это будут уравнения одной и той же плоскости, но с направленными в разные стороны нормалями (можно так считать)

Alexander__ в сообщении #1542279 писал(а):

в положительные полупространства

Не знаю, что такое "положительное полупространство"

Alexander__ в сообщении #1542279 писал(а):

Как вам такое решение. Так как координаты векторов $\vec{n}_1$ и $\vec{n}_2$ взяты с теми же знаками, что коэффициенты в уравнениях прямых, то оба направлены в положительные полупространства. Угол между $\vec{n}_1$ и $\vec{n}_2$ тупой, т.к. скалярное произведение отрицательно. Значит двугранный угол острый. Значит модули нужно раскрыть с одинаковыми знаками.

В целом, мне кажется, ваше обоснование не особо подходит, и я не вижу, как из уравнения плоскости без дополнительного исследования понять, куда будет направлен вектор нормали.

-- 20.12.2021, 18:44 --

Либо я не до конца понял ваше обоснование.

[xagiwo]

artempalkin в сообщении #1543728 писал(а):

Не знаю, что такое "положительное полупространство"

Для плоскости $f(x,y,z)= Ax + By + Cz + D=0$ это есть $f(x,y,z)>0$ (оно, конечно, зависит не только от плоскости, но и от записанного уравнения)

Вектор $(a,b,c)$, проведённый из плоскости $f=0$ направлен в положительное полупространство когда $Aa+Bb+Cc > 0$. В частности $(A, B, C)$ направлен в положительное полупространство.

Расстояние до плоскости считается как $\frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$, когда $(x_0, y_0, z_0)$ в положительном полупространстве и как $\frac{-(Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D)}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ иначе.

Так вот, ТС заметил, что угол между нормалями, которые торчат в положительные полупространства, тупой, а значит тот угол между плоскостями, в котором заключено пересечение положительных полупространств, острый. В этом пересечении оба расстояния до плоскостей считаются с плюсом, а потому в формуле модули раскрываются с плюсом. Хорошее решение.

[artempalkin]

xagiwo в сообщении #1543763 писал(а):

Так вот, ТС заметил, что угол между нормалями, которые торчат в положительные полупространства, тупой, а значит тот угол между плоскостями, в котором заключено пересечение положительных полупространств, острый.

Да, но откуда мы знаем, как эти положительные полупространства расположены относительно друг друга?
Ага, ну в общем немного я подумаю. Наверное, все верно