2017 Кубок памяти А.Н. Колмогорова

[Navid]

Пусть $P(x), Q(x)$ и $R(x, y)$ — ненулевые многочлены c целыми коэффициентами. Различные
положительные числа $a$ и $b$ таковы, что $P(a) = Q(b) = 0$, причём все натуральные степени чисел
$a$ и $b$ иррациональны. Может ли оказаться, что $R(a^{a}, b^{b}) = 0$?

[zykov]

Например $P(x)=x^2-2x-1$, $Q(x)=x^2+2x-1$, $a=\sqrt 2 + 1$ и $b=\sqrt 2 - 1 = \frac{1}{a}$.
Тогда для $R(x,y)=R_1(xy)$, где $R_1(x)=x^2-6x+1$ будет $R(a^a, b^b)=0$.
Т.к. $a^a b^b = a^2 = 2\sqrt 2 + 3$.

[Navid]

Спасибо!
Что, если $\log a$, $\log b$ линейно независимы в рациональных числах?