Разница в силе тяжести на полюсах и экваторе

[Boris Geryevich]

Есть устоявшееся мнение, что сила тяжести не полюсе Земли больше, чем на экваторе, так как расстояние до центра земли на полюсах меньше, поскольку форма Земли близка к эллипсоиду «приплюснутому» на полюсах.
Но интересно получается, если представить эллипсоид очень сильно сплюснутыми у полюсов, почти как диск, то сила тяжести по вышеприведенным рассуждениям должна стремиться к очень большим величинам, а в пределе – к бесконечности. Но интуиция подсказывает, что ничего подобного на «плоской» или дисковой земле не произойдет.


Где ошибка в рассуждениях? Про центробежную и архимедову силу прошу пока не говорить, там, вроде, всё понятно, считаем, что диск (эллипсоид) не вращается, атмосферы нет.

[Pphantom]

Boris Geryevich в сообщении #1540440 писал(а):

Где ошибка в рассуждениях?

Сформулируйте:
1) определение силы тяжести;
2) определение поверхности Земли в рамках модели, "устоявшееся мнение" о которой вас интересует.

[Boris Geryevich]

1. Определение силы тяжести стандартное
2. Модель поверхности Земли приведена в учебнике по которому учат школьников
Учебник физики 7 кл. Перышкин А.В., М.: Дрофа, 2013.
Дословная выдержка со с. 71: «…Земной шар немного сплюснут у полюсов, поэтому тела, находящиеся около полюсов, расположены немного ближе к центру Земли. В связи с этим сила тяжести на полюсе немного больше, чем на экваторе…»

[wrest]

Boris Geryevich в сообщении #1540446 писал(а):

1. Определение силы тяжести стандартное

Это не "проходной" вопрос, лучше бы все же сформулировать...

[Boris Geryevich]

Ничего экзотического. В школьных учебниках: Произведение гравитационной постоянной на массу Земли и на массу тела, деленное на квадрат расстояния между центрами масс Земли и тела.

[wrest]

Boris Geryevich
Вы точно уверены что именно это называют "сила тяжести" а не как-нибудь иначе типа "гравитационная", "притяжения" и т.п.
Просто есть нюанс, см. например физическую энциклопедию http://www.femto.com.ua/articles/part_2/3625.html

[Pphantom]

Boris Geryevich в сообщении #1540446 писал(а):

1. Определение силы тяжести стандартное

wrest в общем-то уже написал правильные замечания, но да: вопрос задавался с целью навести вас на мысль, что ваши представления по этому поводу расходятся с действительностью.

Со вторым вопросом ситуация точно такая же - я не планировал удовлетворять собственное любопытство, вопрос также задан с целью заставить вас подумать над тем, каким на самом деле должен быть корректный ответ. И не надо цитировать школьные учебники: "объяснение" для 7 класса не обязано быть идеально точным, наглядность важнее, тем более что в рамках стандартной школьной программы правильное объяснение будет доступным (и то на качественном уровне) в лучшем случае для ученика 11 класса.

[sergey zhukov]

Boris Geryevich
По моему, задача поставлена простая: как сила тяжести на полюсе зависит от степени сплюснутости земного сфероида? Масса сфероида постоянна. При этом не имеет значения, вращается ли Земля или нет. Предположим для определенности, что не вращается.

Предполагается, что при увеличении сплюснутости земного шара сила тяжести на полюсе возрастает, как это пишут в учебниках. На самом деле расчет силы тяжести для точки на полюсе сфероида (не так там все просто и очевидно в этом расчете) показывает, что при сплющивании шара сила притяжения на полюсе сначала действительно растет, достигает максимума в 103% (если сила притяжения шара берется за 100%) при сплющивании 0,68 (отношение полярного к экваториальному диаметру) но при дальнейшем сплющивании снова начинает падать. Максимум силы притяжения приходится, как видно, на очень сильное сплющивание в сравнении с фактическим для Земли.

Земля сплющена всего на 0,996. Так что на полюсе земного сфероида сила тяжести действительно выше, чем на полюсе гипотетического земного шара.

[wrest]

Boris Geryevich в сообщении #1540440 писал(а):

Но интересно получается, если представить эллипсоид очень сильно сплюснутыми у полюсов, почти как диск, то сила тяжести по вышеприведенным рассуждениям должна стремиться к очень большим величинам, а в пределе – к бесконечности. Но интуиция подсказывает, что ничего подобного на «плоской» или дисковой земле не произойдет.

Если говорить о пределе в математическом смысле, то конечно, если взять две материальные точки и их сближать, то по классическому закону всемирного тяготения сила притяжения между ними будет $F=G\dfrac{mM}{r^2}$ и $\lim \limits_{r \to 0}{F(r)}=\infty$ Но "материальные точки" это абстракция - по сути они при нулевом размере и конечной массе имеют бесконечную плотность, что не слишком физично.
Плоский тонкий диск, в центре, будет иметь однородное поле тяготения вблизи диска, при чем сила притяжения будет по модулю меньше чем на краю диска (но! помещенный на край диска шарик скатится в центр, т.к. на краю сила не будет перпендикулярна поверхности диска).

Кстати о шарике. Если бы Земля была гладкая (т.е. если разгладить поверхность например налив воды чтобы вода затопила всю сушу), то помещенный на поверхность шарик оставался бы в равновесии, хотя сила тяжести на экваторе меньше чем на полюсе.

(sergey zhukov)

sergey zhukov
Как говорится "хозяйке на заметку", вдруг вы не знали: последний абзац выше говорит о том, что поверхность геоида эквипотенциальна! Иначе бы океаны утекли в сторону увеличения потенциала и все равно образовали бы эквипотенциальную поверхность. Собсно что они и пытаются делать при приливах и отливах...

[zykov]

wrest в сообщении #1540504 писал(а):

"материальные точки" это абстракция - по сути они при нулевом размере и конечной массе имеют бесконечную плотность, что не слишком физично.

Тут дело не в материальной точке, а в том что поле шара или сферы эквивалентно полю точечного заряда (за пределами шара/сферы).
Поле сплющенного шара уже не эквивалентно.

[Pphantom]

(wrest)

wrest в сообщении #1540504 писал(а):

последний абзац выше говорит о том, что поверхность геоида эквипотенциальна!

Чтож вы ТС не даете подумать. Ну и заодно: замечание-то правильное, но с учетом того, что геоид - это по определению эквипотенциальная поверхность..., несколько тавтологическое.

[wrest]

(Pphantom)

Pphantom в сообщении #1540517 писал(а):

Чтож вы ТС не даете подумать.

Мне кажется, что мы его больше не увидим тут с содержательными коментами. Буду рад ошибиться.

[sergey zhukov]

(Оффтоп)

wrest
Да, про эквипотенциальность поверхности вращающейся самогравитирующей жидкости я стал задумываться после прочтения "Операция Тяготение" Хола Клемента. Там как раз описывается очень сплющенная быстро вращающаяся планета. Все там весьма обстоятельно описано, включая зависимость силы тяжести и атмосферного давления от широты.

До этой книжки я считал, кстати, что сила тяжести на вращающемся равновесном самогравитирующем сфероиде по всей поверхности одинакова. Так я понимал тогда эквипотенциальность. Потом понял, что эквипотенциальность поверхности означает лишь то, что результирующая силы гравитации и центробежной силы (во вращающейся СО, т.е. то, что мы обычно и называем "сила тяжести") в каждой точке поверхности перпендикулярна ей. Однако, она может быть везде разная по величине. Например, даже на не вращающемся умеренном сфероиде сила тяжести на экваторе меньше, чем на полюсе. Вращение еще больше увеличивает эту разность.

[wrest]

sergey zhukov
Эквипотенциальность имеет ещё такое важное практическое следствие/свойство кроме перпендикулярности $\vec g$ к поверхности: одинаковый темп хода времени.

[Boris Geryevich]

Подскажите, где почитать про: сила притяжения максимум при сплющивании эллтпсоида 0,68…