Доказать касание прямой и окружности

[Владимир_Руб]

Окружности Γ1 и Γ2 лежат внутри окружности Γ и касаются ее в точках M и N соответственно, притом, центр окружности Γ2 лежит на Γ1. Продолжение общей хорды окружностей Γ1 и Γ2 пересекает Γ в точках A и B. Прямые MA и MB повторно пересекают Γ1 в точках C и D. Докажите, что прямая CD касается Γ2.

Добавлено спустя 1 минуту 5 секунд:

может я какой факт не знаю??

[gefest_md]

[Владимир_Руб]

хороший чертеж!...

[shwedka]

для подобных треугольников MCD, MAB посчитайте коэффициент подобия через радиусы.

[Владимир_Руб]

почему подобны?

[Владимир_Руб]

спасибо за идею. дальше сам разберусь...

[Dimoniada]

Есть ещё такое решение. Оно распадается на 2 подзадачи: первая лёгкая, а вторая - красивая и сложная задача на доказательство.Первая - для такого расположения окружностей $\omega_{O_1}$ и $\omega_{O_2}$ (как в условии задачи и на рис. от gefest_md) если ещё провести 2 внешние касательные $PQ$ и $FT$ ($P$ и $F$ лежат на $\omega_{O_1}$), то $PF$ будет касаться $\omega_{O_2}$.Это, вроде, достаточно легко доказать. Вторая подзадача утверждает, что точки $C$ и $D$ это и есть точки касания внешних касательных с $\omega_{O_1}$

[Владимир_Руб]

интересно... попробую так, а то подобие не хочет доказываеться.

[Dimoniada]

Владимир_Руб писал(а):

интересно... попробую так, а то подобие не хочет доказываеться.

Могу более подробно рассказать про вторую "часть" задачи. Вы с первой справились?
И кстати, помните ли лемму Архимеда (я про касающиеся окружности)?

[Владимир_Руб]

лемму напомните, пожалуйста...
а подробней не надо... сам попробую пока..
если не получится, тогда просить подробности буду...

[Dimoniada]

В рамках поставленной задачи лемму можно сформулировать так:
'Хорда AB делит некоторую окр. на 2 дуги (AB) и (BA).Произвольная окр. вписана в сегмент [AB] и касается хорды AB и дуги (AB) в точках M и N соответственно. Тогда середина дуги (BA) и точки M и N лежат на одной прямой." И ещё обобщение этой леммы тоже понадобится: "... в сегмент [AB] вписаны 2 окр., пересекающиеся в точках C и D.Тогда середина дуги (BA), C и D лежат на одной прямой."

[TOTAL]

Владимир_Руб писал(а):

хороший чертеж!...

Чертеж как раз неудачный, т.к. на нём центры окружностей расположены (почти) на одной прямой, что может ввести в заблуждение.

А задачу можно решать прямолинейно. Расстояние т. $M$ до прямой $AB$ легко находится, т.к. известиен косинус угла $OO_1O_2$. Расстояние т. $M$ до $DC$ в $R_1/R$ раз больше, чем до $AB$ (из уже указанного подобия тр-ков). Вот так и найдёте расстояние т. $O_2$ до $DC$, которое окажется равным $R_2$.

[Владимир_Руб]

Dimoniada, спасибо за помощь! Все получилось!

ТOTAL, а как вы подобие указаных треугольников доказали? А то у меня не вышло это показать сначала... теперь мучаюсь этим вопросом...

[Владимир_Руб]

и еще вопрос...
как обобщенную лемму Архимеда доказать?

З.Ы. с простой я справился...

[Владимир_Руб]

Все...

Остался только один вопрос:
как доказать подобие треугольников MCD и MAB чтоб через этот факт доказать утверждение...