Как определяется направление?

[Alastoros]

Читал сейчас книгу Гордеева о кватернионах, там дается определение двойного векторного произведения с использованием символа Леви-Чивиты. А возможно ли представить это в какой-нибудь альтернативной формулировке?

Допустим, надо определить векторный или скалярный характер произвольного произведения произвольных напряженностей электрического и магнитного полей. (Конечно, это известно, но допустим, что неизвестно и нужен математический инструмент, чтобы это выявить).

Так как магнитное поле есть ротор векторного потенциала, то есть символически векторное произведение оператора Гамильтона на векторный потенциал, определить направление конкретной магнитной компоненты тензора электромагнитного поля можно, если взять произведение символа Леви-Чивиты и двух векторов (символический Гамильтона и векторный потенциал), по сути при этом берется множество всех ортов пространства заданной размерности и из него вычитается множество ортов, соответствующих индексам этих векторов (или индексов этой магнитной компоненты тензора электромагнитного поля), разность и определит направление вектора магнитного поля.

Аналогично, чтобы вычислить направление какой-либо вектора Пойнтинга, надо взять множество всех ортов и вычесть из него сумму множеств ортов электрического и магнитного поля, а с учетом сказанного ранее, можно просто вычесть множество, состоящее из единственного элемента, - орт направления электрического поля, - из множества ортов, соответствующих индексам магнитного тензора.

Но если здесь все понятно, как показать скалярность (или отсутствие направления) скалярных произведений? Таких произведений два типа, величины типа ${E_i}{E_i}$ (или ${H_i}{H_i}$) - здесь также все понятно, если использовать предыдущее правило, то останется пустое множество, - а величин ${E_i}{H_i}$? Тогда, например, из множества $(k, j)$ надо вычесть множество $(i)$, поэтому можно заменять магнитное множество ортов эквивалентным множеством, образованным произведениями его элементов?

[DimaM]

Alastoros в сообщении #1539782 писал(а):

как показать скалярность (или отсутствие направления) скалярных произведений?

По определению, по-моему.

[Alastoros]

В трехмерном пространстве это просто, но я анализирую этот простой случай, чтобы разобраться со смыслом произведений в пространстве любой размерности.

Пусть в четырехмерном пространстве $(x, y, z, s)$ в некоторой плоскости вращается векторный потенциал. Так как ротор направлен по оси, которых теперь две, и он - векторное произведение оператора Гамильтона и векторного потенциала (произведение двух векторов в 4-пространстве), магнитное поле $f_{ij}$ теперь - плоскость $H_{kt}$, тогда как электрическое поле как градиент скалярного потенциала - по-прежнему вектор.

Рассмотрим два вращения векторного потенциала с одновременным присутствием электрического поля:
1) векторный потенциал вращается в плоскости $XY$, магнитное поле $f_{31}$ - плоскость $H_{24}$, и есть электрическое поле $f_{03}$ - вектор $E_3$;
2) векторный потенциал вращается в плоскости $ZS$, магнитное поле $f_{34}$ - это плоскость $H_{21}$, и одновременно электрическое поле $f_{02}$ - вектор $E_2$.

Чем физически были бы произведения полей ${f_{03}}{f_{31}}$ (или ${E_3}{H_{24}}$) и ${f_{02}}{f_{34}}$ (или ${E_2}{H_{21}}$)?

Если определять направление через произведения мнимых единиц, соответствующих индексам, то это даст $1$ для обоих сочетаний полей по тензорной и по векторной форме, но разными способами (в первом в тензорной форме квадрат $3$ самоуничтожится и останется $1$, а в векторной $234$ дадут $1$, во втором в тензорной форме $342$ дадут $1$, в векторной $212$ - $2$ самоуничтожится и останется $1$).

Если определять направление произведения при помощи единичного тензора, то в первом случае он дает его через векторную форму написания полей (${S_1} = {e_{1234}}{E^3}{H^{24}}$), а во втором - через тензорную (${K_1} = {e_{01234}}{f^{02}}{f^{34}}$).

${S_1}$ - это $x$-компонента вектора Пойнтинга, а что такое ${K_1}$?

[DimaM]

Alastoros в сообщении #1539791 писал(а):

я анализирую этот простой случай, чтобы разобраться со смыслом произведений в пространстве любой размерности

Электродинамика не работает в пространстве любой размерности.

С вопросом, почему скалярная величина является скалярной, вы уже разобрались?

[Alastoros]

DimaM в сообщении #1539794 писал(а):

почему скалярная величина является скалярной

Ну если не по определению, на ум приходит комплексный вектор электромагнитного поля, квадрат которого дает инварианты.

DimaM в сообщении #1539794 писал(а):

Электродинамика не работает в пространстве любой размерности.

Не работает каким образом, становится внутренне противоречивой? А как это видно? Пространство понимается каким образом? Встречал два определения, как система координации материальных тел и как пустой сосуд с бесконечно отдаленными стенками, в первом смысле оно конечно трехмерно (иначе нарушится закон обратных квадратов), во втором, как пустота, наполняемая произвольным материальным содержимым, оно может быть любой размерности, важно только, чтобы все тела были только в трехмерном сечении бесконечномерной пустоты.

И я смотрел, что будет для уравнений Максвелла, если просто увеличить размерность, по сути это та же трехмерная электродинамика плюс добавочные уравнения, но эти добавки не имеют никакого значения, например если дифференцировать электростатический потенциал по запредельной широте, на экваторе которой лежит этот мир, будет четвертая компонента электрического поля, но если параллельных миров нет или они на расстоянии размеров солнечной системы или дальше, это запредельное поле не будет иметь никакого проявления, аналогично и векторный потенциал вращается только в этом 3-сечении и все эти поля типа $f_{14}$ попросту не могут быть созданы средствами этого мира. Интересная вещь получается разве что для электродинамики с магнитными зарядами, тогда трехмерная дивергенция магнитного поля - это не плотность магнитного заряда, а 5-ток, но для этого мира это снова не имеет значения, такой ток будет выглядеть как неподвижный магнитный монополь, да и не все ли равно, если их нет, если бы они были, военные давно б уже сделали протонные бомбы.

Наоборот, мне очень понравилось, что если проанализировать природу электромагнитного поля, то вектор Пойнтинга становится таким же, как и в трехмерном пространстве, и четвертое измерение никак не проявится, так как электромагнитная энергия и дрейф будут направлены только в этом мире. Но даже если те добавочные поля не могут быть созданы и влияния из запределья никогда не будут наблюдаться, все равно очень интересно, чем бы это было физически, что такое этот вектор, какая-то часть вектора Пойнтинга или что-то еще?

[DimaM]

Alastoros в сообщении #1539802 писал(а):

Не работает каким образом, становится внутренне противоречивой?

Все уравнения написаны для трехмерного пространства.

Alastoros в сообщении #1539802 писал(а):

Ну если не по определению, на ум приходит комплексный вектор электромагнитного поля, квадрат которого дает инварианты.

Похоже, не разобрались. Думаю, вам стоит начать с этого: понять, почему скалярная величина является скалярной.

[Alastoros]

DimaM в сообщении #1539803 писал(а):

понять, почему скалярная величина является скалярной

В смысле почему - почему скаляр это тензор нулевого ранга? Тогда, наверное, это произведение ковариантного и контравариантного векторов?

DimaM в сообщении #1539803 писал(а):

Все уравнения написаны для трехмерного пространства.

Ну вот сейчас пространство трехмерное, но я читал где-то (наверное у Дэвиса?), что когда-то все измерения были равноправны, а затем высшие свернулись, а эти три расширились, вот и интересно, что будет с электромагнитными явлениями, если проследить их историю до того прошлого - да, они записаны для трехмерного пространства, но почему бы не исследовать их же, но для более высокой размерности.

[Alastoros]

Кажется, разобрался, вспомнил, что читал в одном учебнике, вектор можно разложить по ортам $a = {a_x}i + {a_y}j + {a_z}k$, и там же рассматривалось векторное произведение как векторная (то есть имеющая при слагаемых после умножения мнимые единицы) часть умножения, значит, скалярной величиной произведение будет благодаря произведению одинаковых типов мнимых единиц, а этот вектор $K_i$ был бы частью $S_i$?

(Оффтоп)

Думал, нет ли каких-нибудь причин не рассматривать электродинамику для 5-ПВ, но если есть две работающие теории - ЭД и ОТО, для одной из которых такое изучалось, то не должно быть причин, запрещающих проделать такое и для другой теории. Даже интересно, не потому ли нет магнитных монополей, что на самом деле это 5-токи, которые давным-давно отправились в запределье?

[realeugene]

Alastoros в сообщении #1539804 писал(а):

но почему бы не исследовать их же, но для более высокой размерности.

Мне кажется, что теории со свёрнутыми размерностями должны включать нечто, сводящееся в оставшемся четырехмерии к обычному электромагнетизму. Иначе они были бы лишь какими-то очень отдалёнными от наблюдаемой реальности спекуляциями.

[Walker_XXI]

Alastoros, вот читаю Ваши сообщения и недоумеваю. Если Вы знаете, что такое тензор, то не сложно сделать пару шагов в сторону тензорного и внешнего (антисимметричного) произведения, познакомиться с дифференциальными формами, оператором (звёздочкой) Ходжа. Тогда будет гораздо проще понять, как затронутые Вами вопросы обобщаются на произвольное число размерностей. А делать обобщения в используемой Вами терминологии громоздко и сложно - за деревьями леса не видно. Впрочем, это не физика, а чистая математика. Знакомство с теорией групп ещё больше прояснит ситуацию.

Что касается направления, то его выбор для псевдовектора - вопрос договорённости (мы произвольно вводим ориентацию в пространстве, называя один базис положительным (правым), а его отражение - отрицательным (левым)).

[Alastoros]

Walker_XXI в сообщении #1540298 писал(а):

это не физика, а чистая математика

Благодарю за советы, все это обязательно изучу.

Но не соглашусь, что это чистая математика, пусть например в четырехмерном пространстве есть магнитное поле ${f_{34}} = {H_{12}}$ и скорость ${V_2}$, каким будет электромагнитное поле, если двигаться со скоростью этого тела?

С одной стороны, если разложить поля и скорости по базисам ${{\bf H}_{12}} = h{\bf i}{\bf j}$ и ${{\bf V}_2} = v{\bf j}$ и найти наличие направления, получится не скалярная, но векторная величина с направлением по $x$, т.е. произведение вроде как векторное, а векторное произведение магнитного поля и скорости в 4-ПВ давало электрическое поле.

С другой стороны, это магнитное поле ${H_{12}}$ есть компонента тензора ЭМП ${f_{34}}$, то есть индекс $2$ там отсутствует, а тогда, как показано в ЛЛ-2, из преобразований Лоренца следует, что электрическое поле не появится.

И что же на самом деле будет для наблюдателя, двигающегося со скоростью ${V_2}$ в таком поле, появится для него электрическое поле или нет, и что означало бы его наличие или отсутствие? С одной стороны, если следовать логике преобразований Лоренца, его не будет, и этот непонятный вектор надо было бы назвать "псевдоэлектрическим полем" (которое не сможет ускорять заряды?), то есть ввести какое-то новое правило умножения направленных величин для четырехмерного пространства, или это все-таки электрическое поле, и тогда для пятимерного пространства-времени преобразования Лоренца надо как-то обобщить?