Количество решений системы полиномиальных уравнений

[vpb]

nnosipov в сообщении #1539954 писал(а):

Возможно, я пока не вчитывался, но сходу вот здесь:

Да, это с моей стороны неаккуратность. Теперь я понял, какой феномен Вы имеете в виду.

[nnosipov]

В данном случае можно просто сократить на такой $h$, степени $f$ и $g$ от этого только понизятся. Но вот над $\mathbb{Q}$ уравнение $h(x,y)=0$ вполне может иметь конечное множество решений. Надеюсь, это не будет препятствием.

-- Вс ноя 21, 2021 00:27:29 --

vpb в сообщении #1539951 писал(а):

Над любым бесконечным проходит. А конечное тотчас же к бесконечному сводится.

Имеется в виду конечное поле? Над конечным полем система с $f=g$ будем иметь примерно столько решений, каков размер поля, что от степени многочленов не зависит. Так что условие бесконечности поля отбросить вряд ли можно. Либо накладывать на $f$ и $g$ условие типа взаимной простоты.

[xagiwo]

vpb, большое спасибо! Вообще меня впечатляет, что проблемы о кривых высоких порядков решаются линейной алгеброй (казалось бы, уравнения высших степеней не линейны, причём тут линал :-) )

[nnosipov]

xagiwo
Почитайте про результант (если не знакомы с этим понятием). Очень полезная штука при решении систем полиномиальных уравнений. И линейной алгебры там хватает.

[xagiwo]

nnosipov где почитать?

[nnosipov]

Винберг, Алгебра многочленов, М., Просвещение, 1980.

[xagiwo]

nnosipov, спасибо.

[Alex Krylov]

Есть в Maple два полезнейших пакета для работы с полиномиальными системами равенств/неравенств (включая параметрические): Groebner и RegularChains, причем второй пакет гораздо мощней по своему функционалу!

Чтобы быстро оценить мощь пакета RegularChains на примере простой системы уравнений с двумя неизвестными и двумя параметрами, можете набрать в Maple следующую последовательность команд и посмотреть на результат:

Цитата:

with(RegularChains)
R := PolynomialRing([x, y], {a, b})
R2 := PolynomialRing([x, y, a, b])
sys := {$x^2+y^2-a$, $b y^4-3 x$}

dec := Triangularize(sys, R, output = lazard)
Display(dec, R)

dec2 := RealTriangularize(sys, R2)
Display(dec2, R2)

dec3 := ParametricSystemTools[ComprehensiveTriangularize](sys, 2, R2)
Display(dec3, R2)

[Alex Krylov]

Небольшое HOWTO...

Возьмем для примера уравнение $x^2+y^2+z^2-1=0$. В Maple в пакете Groebner есть функция HilbertDimension(), которая позволяет получить размерность многообразия. Наберем в Maple следующие команды:

Цитата:

> with(Groebner)
> $J := [x^2+y^2+z^2-1]$ //(здесь J - идеал, порождаемый $x^2+y^2+z^2-1$
> HilbertDimension(J)

HilbertDimension(J) выдаст 2. Теперь добавим к исходному уравнению еще одно:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x^2+y^2+z^2-1=0 \\ x=0 \\ \end{array} \right.$$

Наберем в Maple:

Цитата:

> with(Groebner)
> $J := [x^2+y^2+z^2-1, x]$
> HilbertDimension(J)

HilbertDimension(J) выдаст 1.

И наконец для системы

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x^2+y^2+z^2-1=0 \\ x=0 \\ z-y=0 \\ \end{array} \right.$$

HilbertDimension(J) выдаст 0, что соответствует конечному множеству корней. Для этих же целей можно использовать функцию IsZeroDimensional(), которая в случае многообразия размерности 0 выдаст "true" (и "false" в противном случае).

Теперь для последней системы/идеала получим базис Гребнера в лексикографическом(!) порядке (используем функцию Basis()). Наберем в Maple:

Цитата:

> with(Groebner)
> $J := [x^2+y^2+z^2-1, x, z-y]$
> Basis(J, plex(x, y, z)) //(plex(x, y, z) - указывает на использование лексикографического порядка)

Получим: $[2 z^2-1, -z+y, x]$. Т.е. по сути мы пришли к эквивалентной треугольной системе полиномиальных уравнений:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 2 z^2-1=0 \\ y-z=0 \\ x=0 \\ \end{array} \right.$$

Базис Гребнера, вычисляемый в лексикографическом(!) порядке, обладает уникальным свойством - он приводит исходную систему полиномиальных уравнений к треугольному виду! Если размерность многообразия равна нулю, то первым уравнением в треугольной системе будет полиномиальное уравнение (возможно высокой степени) от одной переменной.

[DeBill]

xagiwo
А есть еще теория малочленов Хованского...
Малочлен - это многочлен, у которого мало членов.
Носителем мчлена назовем совокупность векторов, составленных из показателей его мономов, а диаграммой Ньютона - выпуклую оболочку носителя.
Тогда: (Хованский) Число НЕНУЛЕВЫХ решений системы (если их - конечное число) не превышает смешанного объема диаграмм Ньютона ее уравнений.
Пример. Пара уравнений $P(x,y)=0, Q(x,y)=0$, где $P(x,y)=ax^n+ ...+by^n +...+c$, и $Q(x,y)=a_1x^m+...+b_1y^m +..._c_1$ с ненулевыми выделенными к-тами. Их диаграммы Ньютона - треугольники $A,B$ с вершинами $(n,0), (0,n), (0,0)$ и $(m,0), (0,m), (0,0)$ соответственно. Смешанным объемом $v(A,B)$ назовем разность $S(A+B)-S(A)-S(B)$ (сумма множеств - поточечная, $S$ - площадь; ну, по честному, тут еще есть коэффициент, но у Хованского он тож есть, и они аннигилируются). Тогда $v(A,B)=\frac{1}{2}(m+n)^2-\frac{1}{2}m^2- \frac{1}{2}n^2=mn$, что и есть теорема Безу...

ПРимер. Система $x^3+y^3+x^2y^2=0, x^2+y^2+x^3y^3=0$ имеет $\frac{35}{2}-\frac{3}{2}-4=12$ решений (ненулевых, комплексных).