Движение в быстро осциллирующем поле

[misha.physics]

Здравствуйте.
Пытаюсь разобраться с $\S30$ "Механики" (изд. 2004 г.) Ландау и Лифшица. В конце параграфа есть "Задача 1" с маятником, точка которого совершает высокочастотные вертикальные колебания по закону $a\cos\gamma t$. У меня не получается согласовать этот пример с теорией этого параграфа, не совпадает размерность.

Лагранжиан у меня получился такой же, как в книге:
$L=\frac{m}{2}l^2\dot{\varphi}^2+mla\gamma^2\cos\gamma t\cos\varphi+mgl\cos\varphi$
Запишем также уравнение Лагранжа:
$ml^2\ddot\varphi=-mla\gamma^2\cos\gamma t\sin\varphi-mgl\sin\varhpi$

В параграфе есть уравнение для одномерного движения в постоянном поле $U$ и переменной силы $f=f_1\cos\gamma t+f_2\sin\gamma t$ (я переобозначил частоту):
$m\ddot x=-\frac{dU}{dx}+f$
и выражение для эффективной потенциальной энергии:
$U_{\text{еф}}=U+\frac{1}{4m\gamma^2}(f_1^2+f_2^2)\qquad(1)$

В нашем случае $U=-mgl\cos\varphi$ и мы можем переписать уравнение Лагранжа так:
$ml^2\ddot\varphi=-\frac{dU}{d\varphi}-mla\gamma^2\cos\gamma t\sin\varphi$

В параграфе так и говорится, что в качестве $x$ выбран угол $\varphi$ и:
$f=-mla\gamma^2\cos\gamma t\sin\varphi\qquad(2)$
Дальше приводится $U_{\text{еф}}$:
$U_{\text{еф}}=mgl\left(-\cos\varphi+\frac{a^2\gamma^2}{4gl}\sin^2\varphi\right)\qquad(3)$

Теперь что непонятно. В $(3)$ $U_{\text{еф}}$ имеет размерность энергии, тогда из $(1)$ следует, что $f$ имеет размерность силы, но в $(2)$ $f$ имеет размерность энергии. Понятно, что если $U$ в любых координатах имеет размерность энергии, то $\frac{dU}{dx}$ и $\frac{dU}{d\varphi}$ имеют разную размерность, отличающуюся на размерность длины (здесь $x$ имеет размерность длины). Кажется, в книге где-то сделана ошибка и хотелось бы разобраться в этом примере грамотно.

[lel0lel]

misha.physics в сообщении #1539974 писал(а):

но в $(2)$ $f$ имеет размерность энергии.

Лучше говорить о моменте силы

[misha.physics]

lel0lel, согласен. Спасибо.

Разобрался. Прощу прощения, был критически невнимательный. Стоило сделать разложение для моего уравнения движения или воспользоваться сноской в книге, где говорилось, что координата $x$ — не обязательно декартова, а коэффициент $m$ не обязательно масса. Поэтому в моём случае достаточно просто заменить $m$ на $ml^2$ в выражении для $U__{\text{еф}}$. Ошибки здесь в книге нет, я был неправ.