2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Коммутативные группы. Ассоциативность
Сообщение19.11.2021, 19:32 
Аватара пользователя


23/05/20
336
Беларусь
Уважаемые, коллеги. Подскажите, пожалуйста. Есть множество, на котором легко проверяются все аксимы группы кроме ассоциативности. Плюс к этому легко доказывается, что операция коммутативна. Но в силу того, что элементы группы являются длинными выражениями, я все время запутываюсь в доказательстве ассоциативности. Хотя, когда считаю численно, то вижу, что ассоциативность выполняется. Возникает вопрос, можно ли считать на основе того, что операция коммутативна и выполняются остальные аксиомы группы, то для данной операции ассоциативность тоже выполняется и данное множество группа.
Ни в одном учебнике не нашел рассмотрения такого варианта. Я попробовал доказать эту задачу следующим образом:
$ (ab)c = zc = cz = c(ab) = c(ba) = cba = (cb)a =z_1 \cdot a=a\cdot z_1 = a(cb) =a(bc) $
В силу того. что нигде в литературе не нашел подтверждения то, не могу понять, этот вопрос считается тривиальным или, наоборот, я чего-то не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативные группы. Ассоциативность
Сообщение19.11.2021, 19:53 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
StepV в сообщении #1539834 писал(а):
Я попробовал доказать эту задачу следующим образом:
$ (ab)c = zc = cz = c(ab) = c(ba) = cba = (cb)a =z_1 \cdot a=a\cdot z_1 = a(cb) =a(bc) $
Здесь логическая ошибка: Вы в процессе доказательства ассоциативности использовали эту самую ассоциативность.

-- Пт ноя 19, 2021 23:56:01 --

StepV в сообщении #1539834 писал(а):
можно ли считать на основе того, что операция коммутативна и выполняются остальные аксиомы группы, то для данной операции ассоциативность тоже выполняется и данное множество группа.
Вряд ли. Скорее всего, есть контрпример.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативные группы. Ассоциативность
Сообщение19.11.2021, 20:02 
Аватара пользователя


23/05/20
336
Беларусь
nnosipov в сообщении #1539838 писал(а):
Здесь логическая ошибка: Вы в процессе доказательства ассоциативности использовали эту самую ассоциативность


А сам вопрос правомерен? Если присутствует коммутативность, то ассоциативность будет выполняться? Нужно ли мне искать доказательство или в теории ответ уже отрицательный?

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативные группы. Ассоциативность
Сообщение19.11.2021, 20:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
StepV в сообщении #1539834 писал(а):
Возникает вопрос, можно ли считать на основе того, что операция коммутативна и выполняются остальные аксиомы группы, то для данной операции ассоциативность тоже выполняется и данное множество группа.

У меня подозрение, что если бы это было так, то сей факт был широко освещён в литературе. Поэтому предлагаю не доказывать ассоциативность, а пробовать искать контрпример. Например, рассмотреть операцию (на $\mathbb{R}$ ): $a\odot b = ab + a +b$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативные группы. Ассоциативность
Сообщение19.11.2021, 20:05 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
StepV в сообщении #1539839 писал(а):
Нужно ли мне искать доказательство или в теории ответ уже отрицательный?
Или. Ищите контрпример.

-- Сб ноя 20, 2021 00:11:16 --

мат-ламер в сообщении #1539840 писал(а):
Например, рассмотреть операцию (на $\mathbb{R}$ ): $a\odot b = ab + a +b$ .
А она ассоциативна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативные группы. Ассоциативность
Сообщение19.11.2021, 20:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
nnosipov в сообщении #1539842 писал(а):
А она ассоциативна.

Может быть. Но я написал
мат-ламер в сообщении #1539840 писал(а):
Например,

И написал первое пришедшее в голову выражение, а не подсказку топик-стартеру. Пусть сам поищет для начала. Если не найдёт, то я в Кострикине поищу. Вроде там пример был.

-- Пт ноя 19, 2021 21:27:49 --

Я извиняюсь, что влез в обсуждение. Когда писал свой пост, не видел вашего добавления:
nnosipov в сообщении #1539838 писал(а):
Вряд ли. Скорее всего, есть контрпример.


-- Пт ноя 19, 2021 21:32:53 --

мат-ламер в сообщении #1539846 писал(а):
то я в Кострикине поищу. Вроде там пример был.

Посмотрел. Пример действительно есть у Кострикина. Подсказка топик-стартеру: там используется знак минус.

-- Пт ноя 19, 2021 21:37:29 --

nnosipov в сообщении #1539842 писал(а):
А она ассоциативна.

Прежде всего, у меня не было желания выкладывать готовый ответ топик-стартеру. Это был просто иллюстрирующий пример, что надо как-то искать свою новую операцию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативные группы. Ассоциативность
Сообщение19.11.2021, 21:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
871
StepV в сообщении #1539834 писал(а):
Возникает вопрос, можно ли считать на основе того, что операция коммутативна и выполняются остальные аксиомы группы, то для данной операции ассоциативность тоже выполняется и данное множество группа.

Нет, но известные примеры не тривиальны. Например, если $G$ - свободная группа с тождеством $x^3=1$ и $r>2$ порождающими (в этом случае $G$ - конечная группа), то $G$ - конечная неассоциативная коммутативная лупа Муфанг относительно новой операции $x\cdot y=x^{-1}yx^{-1}$. Другой пример можно найти здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативные группы. Ассоциативность
Сообщение19.11.2021, 21:56 
Аватара пользователя


23/05/20
336
Беларусь
lek в сообщении #1539858 писал(а):
Нет, но известные примеры не тривиальны.

мат-ламер в сообщении #1539846 писал(а):
Пример действительно есть у Кострикина. Подсказка топик-стартеру: там используется знак минус.


Спасибо. Кострикина не стал открывать, но по вашему сообщению нашел следующий вариант.
Для $\mathbb{Z}$ операция $a\bullet b =|a-b|$.
Есть и ноль, и обратный, и коммутативность, нет ассоциативности.

Спасибо. Понял, что обходных путей нет. Надо напрямую доказывать ассоциативность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативные группы. Ассоциативность
Сообщение19.11.2021, 22:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
871
В качестве замечания. При отказе от ассоциативности обычно оставляют не условия существования единицы и обратного элемента, а эквивалентные им в группе условия единственности разрешимости уравнений $ax=b$ и $ya=b$ относительно неизвестных $x$ и $y$. Это приводит к более содержательной математике. В этом смысле введенная вами операция $a\bullet x=b$ однозначно разрешима только при $b=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативные группы. Ассоциативность
Сообщение19.11.2021, 23:14 
Аватара пользователя


23/05/20
336
Беларусь
lek в сообщении #1539869 писал(а):
В этом смысле введенная вами операция $a\bullet x=b$ однозначно разрешима только при $b=0$.


Да. Попробовал умножить слева на $a^{-1}$, получил очень странный результат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативные группы. Ассоциативность
Сообщение19.11.2021, 23:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
871
Это не удивительно, поскольку скобки слева раскрывать нельзя. Но я имел ввиду то, что уравнение $a\bullet x=b$ имеет решение $x=a\pm b$ при $b\geq0$ и не имеет решения при $b<0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативные группы. Ассоциативность
Сообщение20.11.2021, 06:32 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
lek в сообщении #1539869 писал(а):
При отказе от ассоциативности обычно оставляют не условия существования единицы и обратного элемента, а эквивалентные им в группе условия единственности разрешимости уравнений $ax=b$ и $ya=b$ относительно неизвестных $x$ и $y$. Это приводит к более содержательной математике.
Возможно, но в том виде, в котором вопрос был задан, ответ самим ТС и был фактически найден: нужно было взять не все целые числа, а только неотрицательные.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gg322


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group