Коммутативные группы. Ассоциативность

[StepV]

Уважаемые, коллеги. Подскажите, пожалуйста. Есть множество, на котором легко проверяются все аксимы группы кроме ассоциативности. Плюс к этому легко доказывается, что операция коммутативна. Но в силу того, что элементы группы являются длинными выражениями, я все время запутываюсь в доказательстве ассоциативности. Хотя, когда считаю численно, то вижу, что ассоциативность выполняется. Возникает вопрос, можно ли считать на основе того, что операция коммутативна и выполняются остальные аксиомы группы, то для данной операции ассоциативность тоже выполняется и данное множество группа.
Ни в одном учебнике не нашел рассмотрения такого варианта. Я попробовал доказать эту задачу следующим образом:
$ (ab)c = zc = cz = c(ab) = c(ba) = cba = (cb)a =z_1 \cdot a=a\cdot z_1 = a(cb) =a(bc) $
В силу того. что нигде в литературе не нашел подтверждения то, не могу понять, этот вопрос считается тривиальным или, наоборот, я чего-то не понимаю.

[nnosipov]

StepV в сообщении #1539834 писал(а):

Я попробовал доказать эту задачу следующим образом:
$ (ab)c = zc = cz = c(ab) = c(ba) = cba = (cb)a =z_1 \cdot a=a\cdot z_1 = a(cb) =a(bc) $

Здесь логическая ошибка: Вы в процессе доказательства ассоциативности использовали эту самую ассоциативность.

-- Пт ноя 19, 2021 23:56:01 --

StepV в сообщении #1539834 писал(а):

можно ли считать на основе того, что операция коммутативна и выполняются остальные аксиомы группы, то для данной операции ассоциативность тоже выполняется и данное множество группа.

Вряд ли. Скорее всего, есть контрпример.

[StepV]

nnosipov в сообщении #1539838 писал(а):

Здесь логическая ошибка: Вы в процессе доказательства ассоциативности использовали эту самую ассоциативность

А сам вопрос правомерен? Если присутствует коммутативность, то ассоциативность будет выполняться? Нужно ли мне искать доказательство или в теории ответ уже отрицательный?

[мат-ламер]

StepV в сообщении #1539834 писал(а):

Возникает вопрос, можно ли считать на основе того, что операция коммутативна и выполняются остальные аксиомы группы, то для данной операции ассоциативность тоже выполняется и данное множество группа.

У меня подозрение, что если бы это было так, то сей факт был широко освещён в литературе. Поэтому предлагаю не доказывать ассоциативность, а пробовать искать контрпример. Например, рассмотреть операцию (на $\mathbb{R}$ ): $a\odot b = ab + a +b$ .

[nnosipov]

StepV в сообщении #1539839 писал(а):

Нужно ли мне искать доказательство или в теории ответ уже отрицательный?

Или. Ищите контрпример.

-- Сб ноя 20, 2021 00:11:16 --

мат-ламер в сообщении #1539840 писал(а):

Например, рассмотреть операцию (на $\mathbb{R}$ ): $a\odot b = ab + a +b$ .

А она ассоциативна.

[мат-ламер]

nnosipov в сообщении #1539842 писал(а):

А она ассоциативна.

Может быть. Но я написал

мат-ламер в сообщении #1539840 писал(а):

Например,

И написал первое пришедшее в голову выражение, а не подсказку топик-стартеру. Пусть сам поищет для начала. Если не найдёт, то я в Кострикине поищу. Вроде там пример был.

-- Пт ноя 19, 2021 21:27:49 --

Я извиняюсь, что влез в обсуждение. Когда писал свой пост, не видел вашего добавления:

nnosipov в сообщении #1539838 писал(а):

Вряд ли. Скорее всего, есть контрпример.

-- Пт ноя 19, 2021 21:32:53 --

мат-ламер в сообщении #1539846 писал(а):

то я в Кострикине поищу. Вроде там пример был.

Посмотрел. Пример действительно есть у Кострикина. Подсказка топик-стартеру: там используется знак минус.

-- Пт ноя 19, 2021 21:37:29 --

nnosipov в сообщении #1539842 писал(а):

А она ассоциативна.

Прежде всего, у меня не было желания выкладывать готовый ответ топик-стартеру. Это был просто иллюстрирующий пример, что надо как-то искать свою новую операцию.

[lek]

StepV в сообщении #1539834 писал(а):

Возникает вопрос, можно ли считать на основе того, что операция коммутативна и выполняются остальные аксиомы группы, то для данной операции ассоциативность тоже выполняется и данное множество группа.

Нет, но известные примеры не тривиальны. Например, если $G$ - свободная группа с тождеством $x^3=1$ и $r>2$ порождающими (в этом случае $G$ - конечная группа), то $G$ - конечная неассоциативная коммутативная лупа Муфанг относительно новой операции $x\cdot y=x^{-1}yx^{-1}$. Другой пример можно найти здесь.

[StepV]

lek в сообщении #1539858 писал(а):

Нет, но известные примеры не тривиальны.

мат-ламер в сообщении #1539846 писал(а):

Пример действительно есть у Кострикина. Подсказка топик-стартеру: там используется знак минус.

Спасибо. Кострикина не стал открывать, но по вашему сообщению нашел следующий вариант.
Для $\mathbb{Z}$ операция $a\bullet b =|a-b|$.
Есть и ноль, и обратный, и коммутативность, нет ассоциативности.

Спасибо. Понял, что обходных путей нет. Надо напрямую доказывать ассоциативность.

[lek]

В качестве замечания. При отказе от ассоциативности обычно оставляют не условия существования единицы и обратного элемента, а эквивалентные им в группе условия единственности разрешимости уравнений $ax=b$ и $ya=b$ относительно неизвестных $x$ и $y$. Это приводит к более содержательной математике. В этом смысле введенная вами операция $a\bullet x=b$ однозначно разрешима только при $b=0$.

[StepV]

lek в сообщении #1539869 писал(а):

В этом смысле введенная вами операция $a\bullet x=b$ однозначно разрешима только при $b=0$.

Да. Попробовал умножить слева на $a^{-1}$, получил очень странный результат.

[lek]

Это не удивительно, поскольку скобки слева раскрывать нельзя. Но я имел ввиду то, что уравнение $a\bullet x=b$ имеет решение $x=a\pm b$ при $b\geq0$ и не имеет решения при $b<0$.

[nnosipov]

lek в сообщении #1539869 писал(а):

При отказе от ассоциативности обычно оставляют не условия существования единицы и обратного элемента, а эквивалентные им в группе условия единственности разрешимости уравнений $ax=b$ и $ya=b$ относительно неизвестных $x$ и $y$. Это приводит к более содержательной математике.

Возможно, но в том виде, в котором вопрос был задан, ответ самим ТС и был фактически найден: нужно было взять не все целые числа, а только неотрицательные.